16122. Дан остроугольный треугольник ABC
. На стороне BC
отмечены точки A_{1}
и A_{2}
(A_{2}
между A_{1}
и C
), на стороне AC
— точки B_{1}
и B_{2}
(B_{2}
между B_{1}
и A
), на стороне AB
— точки C_{1}
и C_{2}
(C_{2}
между C_{1}
и B
), причём
\angle AA_{1}A_{2}=\angle AA_{2}A_{1}=\angle BB_{1}B_{2}=\angle BB_{2}B_{1}=\angle CC_{1}C_{2}=\angle CC_{2}C_{1}.
Прямые AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
ограничивают треугольник. Прямые AA_{2}
, BB_{2}
и CC_{2}
ограничивают другой треугольник. Докажите, что все шесть вершин этих треугольников лежат на одной окружности.
Решение. Положим
\angle A_{1}AA_{2}=\angle B_{1}BB_{2}=\angle C_{1}CC_{2}=2\alpha.
Пусть прямые AA_{1}
и BB_{1}
пересекаются в точке E
, прямые AA_{2}
и CC_{2}
— в точке D
, прямые BB_{1}
и CC_{1}
— в точке I
.
Биссектрисы углов при вершинах A
, B
и C
равнобедренных треугольников соответственно A_{1}AA_{2}
, B_{1}BB_{2}
и C_{1}CC_{2}
перпендикулярны их основаниям, поэтому эти биссектрисы пересекаются в ортоцентре H
треугольника ABC
.
Поскольку
\angle A_{1}AH=\angle B_{1}BH=\alpha~\mbox{и}~\angle A_{1}AH=\angle C_{1}CH=\alpha,
каждый из четырёхугольников AHEB
и AHDC
вписан в окружность (см. задачу 12), а AH
— общая хорда этих окружностей. Радиусы окружностей равны, так как на хорду AH
опираются равные вписанные углы этих окружностей (см. задачу 23) —
\angle ABH=90^{\circ}-\angle BAC=\angle ACH.
Тогда из равенства вписанных в эти окружности углов EAH
и DAH
следует, что равны хорды HE
и HD
, т. е. точка H
равноудалена от точек E
и D
. Аналогично докажем, что точка H
равноудалена от точек D
и I
. Значит, все шесть точек, о которых говорится в условии, лежат на окружности с центром H
и радиусом HD
. Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Международная математическая олимпиада. — 1995, из материалов жюри
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1998, № 2, задача 6 (1996, с. 299-301), с. 73