16146. Дан треугольник ABC
, в котором AB\ne AC
. Биссектрисы внутреннего и внешнего углов при его вершине A
пересекают описанную окружность этого треугольника в точках L
и M
соответственно. На продолжениях отрезков AL
и AM
за точки L
и M
отложены отрезки соответственно LL'=AL
и MM'=AM
. Описанные окружности треугольников ALM'
и AL'M
вторично пересекаются в точке P
. Докажите, что AP\parallel BC
.
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке. Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры описанных окружностей прямоугольных треугольников ALM'
и AL'M
соответственно (т. е. середины их гипотенуз LM'
и ML'
). Угол между биссектрисами смежных углов равен 90^{\circ}
, поэтому ML
— диаметр описанной окружности треугольника ABC
, а так как L
и M
— середины дуг BC
этой окружности, то ML\perp BC
.
В то же время, отрезок ML
— средняя линия треугольника L'AM'
, поэтому LMM'L'
— трапеция с основаниями LM
и L'M'
. Отрезок O_{1}O_{2}
, соединяющий середины диагоналей LM'
и ML'
этой трапеции, параллелен её основаниям (см. задачу 1226)
Линия центров пересекающихся окружностей перпендикулярна их общей хорде (см. задачу 1130), поэтому O_{1}O_{2}\perp AP
, а так как O_{1}O_{2}\parallel ML
, то ML\perp AP
. Таким образом ML\perp AP
и ML\perp BC
. Следовательно, AP\parallel BC
.
Аналогично для любого другого случая.