16148. Дан прямоугольный треугольник ABC
с прямым углом при вершине A
. Вписанная окружность треугольника касается катетов AB
и AC
в точках D
и E
соответственно, M
— середина гипотенузы BC
, а P
и Q
— центры вписанных окружностей треугольников ABM
и ACM
соответственно. Докажите, что:
а) PD\parallel QE
;
б) PD^{2}+QE^{2}=PQ^{2}
.
Решение. а) Обозначим \angle BAC=\beta
и \angle ACB=\gamma
. Пусть вписанная окружность треугольника ABC
касается гипотенузы BC
в точке F
. Поскольку BP
— биссектриса угла ABC
, а BD=BF
, то треугольники BPD
и BPF
равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому PD=PF
и \angle PDB=\angle PFB
. Аналогично, QE=QF
и \angle QEC=\angle QFC
.
а) Пусть прямые PD
и AC
пересекаются в точке G
. Поскольку AM
— медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, треугольник AMB
равнобедренный (см. задачу 1109), поэтому его биссектриса MP
лежит на серединном перпендикуляре к стороне AD
, а значит, пересекает катет AB
в его середине K
. Кроме того, \beta+\gamma=90^{\circ}
, поэтому \cos\beta=\sin\gamma
. Тогда
PK=BK\tg\frac{\beta}{2}=BM\cos\beta\tg\frac{\beta}{2}=\frac{1}{2}BC\cos\beta\tg\frac{\beta}{2}=
=\frac{1}{2}BC\sin\gamma\tg\frac{\beta}{2}=BC\tg\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}\cos\frac{\gamma}{2},
а так как (см. задачу 219)
BD=\frac{AB+BC-AC}{2},
то
KD=BD-BK=\frac{AB+BC-AC}{2}-\frac{1}{2}AB=\frac{BC-AC}{2}=
=\frac{BC-BC\cos\gamma}{2}=BC\sin^{2}\frac{\gamma}{2}.
Обозначим \angle PDB=\angle PFB=\omega
и \angle QEC=\angle QFC=\varphi
. Тогда из прямоугольного треугольника DKP
получаем
\tg\omega=\frac{PK}{KD}=\frac{BC\tg\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}\cos\frac{\gamma}{2}}{BC\sin^{2}\frac{\gamma}{2}}=\frac{\tg\frac{\beta}{2}}{\tg\frac{\gamma}{2}}.
Аналогично,
\tg\varphi=\frac{\tg\frac{\gamma}{2}}{\tg\frac{\beta}{2}}.
Тогда
\tg\omega\tg\varphi=1~\Rightarrow~\omega+\varphi=90^{\circ}.
Значит,
\angle QEC=\varphi=90^{\circ}-\omega=\angle DGA.
Следовательно, PD\parallel QE
. Что и требовалось доказать.
б) Поскольку
\angle PFQ=180^{\circ}-\angle PFM-\angle QFC=180^{\circ}-\omega-\varphi=90^{\circ},
то из прямоугольного треугольника PMQ
получаем
PD^{2}+QE^{2}=PF^{2}+QF^{2}=PQ^{2}.
Что и требовалось доказать.