16155. Докажите, что расстояние между точкой M
пересечения медиан и ортоцентром H
треугольника со сторонами a
, b
, c
и радиусом R
описанной окружности можно вычислить по формуле
MH^{2}=4\left(R^{2}-\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{9}\right).
Решение. Поскольку точки M
, H
и центр O
описанной окружности треугольника лежат на одной прямой (прямой Эйлера треугольника), и при этом точка M
лежит между H
и O
, и MH=2MO
(см. задачу 5044), то
MH^{2}=4OM^{2}=4\left(R^{2}-\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{9}\right)
(см. задачу 3967). Что и требовалось доказать.