16158. Стороны треугольника равны a
, b
и c
, проведённые к ним высоты равны h_{a}
, h_{b}
и h_{c}
соответственно, а радиус вписанной окружности равен r
. Докажите, что треугольник равносторонний тогда и только тогда, когда h_{a}+h_{b}+h_{c}=9r
.
Решение. Если треугольник равносторонний, то каждая его высота равна 3r
, значит,
h_{a}+h_{b}+h_{c}=9r.
Пусть теперь
h_{a}+h_{b}+h_{c}=9r,
а площадь треугольника равна S
. Тогда
2S=ah_{a}=bh_{b}=ch_{c}~\Rightarrow~h_{a}+h_{b}+h_{c}=2S\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right).
С другой стороны (см. задачу 452)
2S=ar+br+cr~\Rightarrow~9r=\frac{18S}{a+b+c},
поэтому
2S\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\frac{18S}{a+b+c},~\mbox{или}~=\frac{a+b+c}{3}=\frac{3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}},
т. е. среднее арифметическое положительных чисел a
, b
и c
равно их среднему гармоническому. Следовательно, a=b=c
(см. примечание к задаче 3399). Что и требовалось доказать.
Примечание. Похожим образом можно доказать неравенство
h_{a}+h_{b}+h_{c}\geqslant9r.
Действительно, среднее арифметическое положительных чисел a
, b
и c
не меньше их среднего гармонического, следовательно,
h_{a}+h_{b}+h_{c}\geqslant9r~\Leftrightarrow~\frac{2S}{a}+\frac{2S}{b}+\frac{2S}{c}\geqslant9\cdot\frac{2S}{a+b+c}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geqslant9\cdot\frac{1}{a+b+c}~\Leftrightarrow~\frac{a+b+c}{3}\geqslant\frac{3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Мексиканские математические олимпиады. — 1999
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2001, № 2, с. 101