16178. Около треугольника ABC
описана окружность с центром O
и радиусом 1. Точка P
лежит внутри треугольника ABC
, причём OP=x
. Докажите, что
AP\cdot BP\cdot CP\leqslant(1+x)^{2}(1-x),
причём равенство достигается только в случае, если точка P
совпадает с O
.
Решение. Предположим, что одновременно верны неравенства
\angle PBA+\angle PCA\lt\angle BAC,~\angle PAB+\angle PCB\lt\angle ABC,~\angle PAC+\angle PBC\lt\angle ACB.
Сложив их, получим
\angle BAC+\angle ABC+\angle ACB\lt\angle BAC+\angle ABC+\angle ACB.
Противоречие. Значит, хотя бы одно из трёх неравенств не выполняется. Без ограничения общности будем считать, что
\angle PBA+\angle PCA\geqslant\angle BAC.
Пусть T
— отличная от B
точка пересечения прямой BP
с описанной окружностью треугольника ABC
. Тогда
\angle PCT=\angle ACP+\angle ACT=\angle ACP+\angle ABT=\angle ACP+\angle ABP\geqslant
\geqslant\angle BAC=\angle BTC=\angle PTC.
Значит (см. задачу 3499), PT\geqslant CP
.
Поскольку
BP\cdot PT=(OB-OP)(OT+OP)=(1-x)(1+x)=1-x^{2},
то
BP\cdot CP\leqslant BP\cdot PT=1-x^{2},
а так как
AP\leqslant AO+OP=1+x,
то
AP\cdot BP\cdot CP\leqslant(1+x)\cdot(1-x^{2})=(1+x)^{2}(1-x).
Что и требовалось доказать.
Пусть теперь верно равенство
AP\cdot BP\cdot CP\leqslant(1+x)\cdot(1-x^{2})=(1+x)^{2}(1-x).
Тогда одновременно выполняются равенства
AP\leqslant AO+OP=1+x~\mbox{и}~BP\cdot CP=BP\cdot PT=1-x^{2}.
Первое из них выполняется, если точка P
совпадает с O
(тогда выполняется и второе, так как в этом случае x=0
) или точка P
лежит на продолжении отрезка AO
за точку P
.
Пусть точка P
лежит на продолжении отрезка AO
за точку P
. Если при этом ABC
— неостроугольный треугольник, то точка O
не может лежать внутри него, значит, первое равенство невозможно. Если же ABC
— остроугольный треугольник, то
\angle ABP+\angle ACP\gt\angle ABO+\angle ACO=\angle BAO+\angle CAO=\angle BAC,
Значит,
BP\cdot CP\lt1-x^{2}.
Тогда не выполняется второе равенство.
Следовательно,
AP\cdot BP\cdot CP=(1+x)^{2}(1-x)
тогда и только тогда, когда точка P
совпадает с O
.
Примечание. Заметим, что
(1+x)^{2}(1-x)=4\cdot\left(\frac{1}{2}+\frac{x}{2}\right)^{2}(1-x)\leqslant4\left(\frac{\left(\frac{1}{2}+\frac{x}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}+\frac{x}{2}\right)+(1-x)}{3}\right)^{3}=\frac{32}{27}
причём равенство достигается, если \frac{1}{2}+\frac{x}{2}=1-x
, т. е. при x=\frac{1}{3}
(см. примечание к задаче 3399). Следовательно, наибольшее значение произведения AP\cdot BP\cdot CP
равно \frac{32}{27}
.