16233. Стороны вписанного четырёхугольника равны m
, n
, p
и q
указанном порядке, а его диагонали равны d
и d_{1}
. Докажите, что \sqrt{mp+nq}\leqslant\frac{1}{2}(d+d_{1})
.
Решение. Применив к данному четырёхугольнику теорему Птолемея (см. задачу 130) и неравенство Коши (см. задачу 3399), получим
\sqrt{mp+nq}=\sqrt{dd_{1}}\leqslant\frac{1}{2}(d+d_{1}).
Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2005, № 7, задача 2975 (2004, с. 370, 372), с. 467