16248. Пусть медианы треугольника ABC
, проведённые к сторонам BC=a
, CA=b
и AB=c
равны m_{a}
, m_{b}
и m_{c}
соответственно. Докажите, что величина 4a^{4}+9b^{2}c^{2}-16m_{b}^{2}m_{c}^{2}
положительна, отрицательна или равна 0
в зависимости от того, угол при вершине A
острый, тупой или прямой соответственно.
Решение. Поскольку
4m_{b}^{2}=2a^{2}-b^{2}+2c^{2}~\mbox{и}~4m_{c}^{2}=2a^{2}+2b^{2}-c^{2}
(см. задачу 4014), то
4a^{4}+9b^{2}c^{2}-16m_{b}^{2}m_{c}^{2}=4a^{4}+9b^{2}c^{2}-(2a^{2}-b^{2}+2c^{2})(2a^{2}+2b^{2}-c^{2})=
=4a^{4}+9b^{2}c^{2}-4a^{4}-2a^{2}((2c^{2}-b^{2})+(2b^{2}-c^{2}))+(b^{2}-2c^{2})(2b^{2}-c^{2})=
=-2a^{2}(b^{2}+c^{2})+9b^{2}c^{2}+(2b^{4}+2c^{4}-5b^{2}c^{2})=
=-2a^{2}(b^{2}+c^{2})+(2b^{4}+2c^{4}+4b^{2}c^{2})=-2a^{2}(b^{2}+c^{2})+2(b^{2}+c^{2})^{2}=
=2(b^{2}+c^{2})(b^{2}+c^{2}-a^{2}).
Следовательно, если \alpha\lt90^{\circ}
, то (см. задачу 4004)
b^{2}+c^{2}-a^{2}\gt0~\Rightarrow~4a^{4}+9b^{2}c^{2}-16m_{b}^{2}m_{c}^{2}=2(b^{2}+c^{2})(b^{2}+c^{2}-a^{2})\gt0,
если \alpha\gt90^{\circ}
, то
b^{2}+c^{2}-a^{2}\lt0~\Rightarrow~4a^{4}+9b^{2}c^{2}-16m_{b}^{2}m_{c}^{2}=2(b^{2}+c^{2})(b^{2}+c^{2}-a^{2})\lt0,
если \alpha=90^{\circ}
, то
b^{2}+c^{2}-a^{2}=0~\Rightarrow~4a^{4}+9b^{2}c^{2}-16m_{b}^{2}m_{c}^{2}=2(b^{2}+c^{2})(b^{2}+c^{2}-a^{2})=0.
Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2007, № 1, задача 3110, (2006, с. 46, 49), с. 60