16250. Даны треугольники ABC
и A'B'C'
с прямыми углами при вершинах A
и A'
и с высотами AH=h_{a}
и A'H'=h_{a}'
. Докажите, что если b\geqslant c
и b'\geqslant c'
, то
\sqrt{aa'}+2\sqrt{h_{a}h_{a}'}\leqslant\sqrt{2}(\sqrt{bb'}+\sqrt{cc'}).
Решение. Поскольку h_{a}=\frac{bc}{a}
и h_{a}'=\frac{b'c'}{a'}
(см. задачу 1967), то
\sqrt{aa'}+2\sqrt{h_{a}h_{a}'}\leqslant\sqrt{2}(\sqrt{bb'}+\sqrt{cc'})~\Leftrightarrow~\sqrt{aa'}+2\sqrt{\frac{bb'cc'}{aa'}}\leqslant\sqrt{2}(\sqrt{bb'}+\sqrt{cc'})~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~aa'\left(\sqrt{aa'}+2\sqrt{\frac{bb'cc'}{aa'}}\right)^{2}\leqslant aa'\left(\sqrt{2}(\sqrt{bb'}+\sqrt{cc'})\right)^{2}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~aa'^{2}+4bb'cc'\leqslant2aa'(bb'+cc')~\Leftrightarrow~aa'(aa'-2bb')\leqslant2cc'(aa'-2bb')~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~(aa'-2bb')(aa'-2cc')\leqslant0.
Второй сомножитель левой части этого неравенства неотрицателен, поскольку по неравенству Коши—Буняковского (см. задачу 7946)
aa'=\sqrt{b^{2}+c^{2}}\cdot\sqrt{b'^{2}+c'^{2}}\geqslant bb'+cc'\geqslant2cc'
(так как по условию b\geqslant c
и b'\geqslant c'
).
Первый сомножитель неположителен, так как
aa'=\sqrt{b^{2}+c^{2}}\cdot\sqrt{b'^{2}+c'^{2}}\leqslant\sqrt{b^{2}+b^{2}}\cdot\sqrt{b'^{2}+b'^{2}}=b\sqrt{2}\cdot b'\sqrt{2}=2bb'.
Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2007, № 2, задача 3122, (2006, с. 108, 111), с. 125