16254. Радиус вписанной окружности треугольника ABC
равен r
, а радиусы вневписанных окружностей, касающихся сторон BC=a
, CA=b
и AB=c
, равны r_{a}
, r_{b}
и r_{c}
соответственно. Дано, что a\gt r_{a}
, b\gt r_{b}
и c\gt r_{c}
. Докажите, что:
а) треугольник ABC
остроугольный;
б) a+b+c\gt r+r_{a}+r_{b}+r_{c}
.
Решение. Пусть углы треугольника ABC
при вершинах A
, B
и C
равны \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно, p
— полупериметр треугольника, а D
— точка касания вневписанной окружности треугольника с продолжением стороны AB
. Тогда (см. задачу 1750)
AE=p-a,~\tg\frac{\alpha}{2}=\frac{r_{a}}{AD}=\frac{r_{a}}{p}.
По неравенству треугольника
a\lt b+c~\Rightarrow~2a\lt a+b+c~\Rightarrow~a\lt\frac{b+c-a}{2}~\Rightarrow~a\lt p,
а так как r_{a}\lt a
, то
\tg\frac{\alpha}{2}=\frac{r_{a}}{p}\lt\frac{a}{p}\lt1.
Значит,
\frac{\alpha}{2}\lt45^{\circ}~\Rightarrow~\alpha\lt90^{\circ}.
Аналогично для \beta
и \gamma
. Следовательно, треугольник ABC
остроугольный. Что и требовалось доказать.
б) Пусть радиус описанной окружности треугольника ABC
равен R
. Уже доказано что треугольник ABC
остроугольный, поэтому (см. задачу 12950)
p\gt r+2R.
Кроме того,
r_{a}+r_{b}+r_{c}=r+4R
(см. задачу 3240). Следовательно,
r+r_{a}+r_{b}+r_{c}=r+(r+4R)=2r+4R=2(r+2R)\lt2p=a+b+c.
Что и требовалось доказать.
Источник: Индийские математические олимпиады. — 2003
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2007, № 5, задача 8 (2006, с. 278-279), с. 285