3240. Пусть r_{a}
, r_{b}
, r_{c}
— радиусы вневписанных окружностей треугольника, касающихся сторон, равных a
, b
и c
соответственно, r
— радиус вписанной окружности, R
— радиус описанной окружности треугольника. Докажите, что
r_{a}+r_{b}+r_{c}=4R+r.
Указание. Пусть S
— площадь треугольника, p=\frac{a+b+c}{2}
— его полупериметр. Тогда
p(p-a)(p-b)+p(p-a)(p-c)+p(p-b)(p-c)-(p-a)(p-b)(p-c)=abc.
Решение. Пусть S
— площадь треугольника, p=\frac{a+b+c}{2}
— его полупериметр. Применив формулу Герона, формулы площади треугольника через радиус вписанной и вневписанной окружностей (см. задачу 392) и формулу S=\frac{abc}{4R}
(см. задачу 4259) получим, что
r_{a}+r_{b}+r_{c}-r=\frac{S}{p-a}+\frac{S}{p-b}+\frac{S}{p-c}-\frac{S}{p}=
=\frac{S(p(p-a)(p-b)+p(p-a)(p-c)+p(p-b)(p-c)-(p-a)(p-b)(p-c))}{p(p-a)(p-b)(p-c)}=
=\frac{S(2p^{3}-(a+b+c)p^{2}+abc)}{S^{2}}=\frac{2p^{3}-2p^{3}+abc}{S}=\frac{abc}{S}=4R.
Следовательно,
r_{a}+r_{b}+r_{c}=4R+r.
Что и требовалось доказать.
Источник: Кокстер Г. С. М. Введение в геометрию. — М.: Наука, 1966. — № 1.56, с. 29
Источник: Моденов П. С. Сборник задач по специальному курсу элементарной математики. — М.: Советская наука, 1957. — № 74, с. 171; № 65, с. 187
Источник: Коксетер Г. С. М., Грейтцер С. Л. Новые встречи с геометрией. — М.: Наука, 1978. — № 4, с. 75
Источник: Ефремовъ Д. Д. Новая геометрiя треугольника. — Одесса, 1902. — № 15, с. 24
Источник: Пржевальский Е. Собрание геометрических теорем и задач. — М.: Типография Г. Лисснера и Д. Собко, 1909. — № 176, с. 48
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 12.24, с. 303
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 12.25, с. 291
Источник: Готман Э. Г., Скопец З. А. Решение геометрических задач аналитическим методом: Пособие для учащихся 9—10 кл. — М.: Просвещение, 1979. — № 169(4), с. 31
Источник: Куланин Е. Д., Федин С. Н. Геометрия треугольника в задачах: Экспериментальное учебное пособие для 8—10 кл. школ физико-математического направления. — М.: НИИ школ, 1990. — № 16ж, с. 57
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — п.5.3, с. 46