3240. Пусть r_{a}
, r_{b}
, r_{c}
— радиусы вневписанных окружностей треугольника, касающихся сторон, равных a
, b
и c
соответственно, r
— радиус вписанной окружности, R
— радиус описанной окружности треугольника. Докажите, что
r_{a}+r_{b}+r_{c}=4R+r.
Указание. Пусть S
— площадь треугольника, p=\frac{a+b+c}{2}
— его полупериметр. Тогда
p(p-a)(p-b)+p(p-a)(p-c)+p(p-b)(p-c)-(p-a)(p-b)(p-b)=abc.
Решение. Пусть S
— площадь треугольника, p=\frac{a+b+c}{2}
— его полупериметр. Применив формулу Герона, формулы площади треугольника через радиус вписанной и вневписанной окружностей (см. задачу 392) и формулу S=\frac{abc}{4R}
(см. задачу 4259) получим, что
r_{a}+r_{b}+r_{c}-r=\frac{S}{p-a}+\frac{S}{p-b}+\frac{S}{p-c}-\frac{S}{p}=
=\frac{S(p(p-a)(p-b)+p(p-a)(p-c)+p(p-b)(p-c)-(p-a)(p-b)(p-c))}{p(p-a)(p-b)(p-c)}=
=\frac{S(2p^{3}-(a+b+c)p^{2}+abc)}{S^{2}}=\frac{2p^{3}-2p^{3}+abc}{S}=\frac{abc}{S}=4R.
Следовательно,
r_{a}+r_{b}+r_{c}=4R+r.
Что и требовалось доказать.