16272. Радиус описанной окружности треугольника равен R
. Точка P
, лежащая внутри треугольника, удалена от с его сторон, равных a
, b
и c
, на расстояния p
, q
и r
соответственно. Докажите, что
R\leqslant\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{18\sqrt[{3}]{{pqr}}}.
Решение. Пусть S
— площадь данного треугольника. Тогда (см. задачу 4259)
R=\frac{abc}{4S}=\frac{abc}{2\cdot2S}=\frac{abc}{2(ap+bq+cr)},
поэтому
R\leqslant\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{18\sqrt[{3}]{{pqr}}}~\Leftrightarrow~\frac{abc}{2(ap+bq+cr)}\leqslant\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{18\sqrt[{3}]{{pqr}}}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~(a^{2}+b^{2}+c^{2})(ap+bq+cr)\geqslant9abc\sqrt[{3}]{{pqr}}.
Поскольку
a^{2}+b^{2}+c^{2}\geqslant3\sqrt[{3}]{{a^{2}b^{2}c^{2}}}~\mbox{и}~ap+bq+cr\geqslant3\sqrt[{3}]{{abcpqr}}
(см. примечание к задаче 3399), то, перемножив эти неравенства, получим
(a^{2}+b^{2}+c^{2})(ap+bq+cr)\geqslant9abc\sqrt[{3}]{{pqr}}.
Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Тайваньские математические олимпиады. — 2005
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2008, № 8, задача 1 (2008, с. 21-22), с. 467