16273. Докажите, что для любого вписанного четырёхугольника верно равенство
\frac{AC}{BD}=\frac{AB\cdot AD+BC\cdot CD}{AB\cdot BC+CD\cdot AD}.
Решение. Пусть S
— площадь данного четырёхугольника, R
— радиус его описанной окружности. Тогда (см. задачу 4259)
S=S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ADC}=\frac{AB\cdot BC\cdot AC}{4R}+\frac{AD\cdot DC\cdot AC}{4R},
S=S_{\triangle ABD}+S_{\triangle BCD}=\frac{AB\cdot BD\cdot AD}{4R}+\frac{BC\cdot CD\cdot BD}{4R}.
Значит,
\frac{AB\cdot BC\cdot CA}{4R}+\frac{AD\cdot DC\cdot AC}{4R}=\frac{AB\cdot BD\cdot AD}{4R}+\frac{BC\cdot CD\cdot BD}{4R}~\Rightarrow
\Rightarrow~AB\cdot BC\cdot CA+AD\cdot DC\cdot AC=AB\cdot BD\cdot AD+BC\cdot CD\cdot BD~\Rightarrow
\Rightarrow~AC(AB\cdot BC+AD\cdot DC)=BD(AB\cdot AD+BC\cdot CD)~\Rightarrow
\Rightarrow~\frac{AC}{BD}=\frac{AB\cdot AD+BC\cdot CD}{AB\cdot BC+CD\cdot AD}
(см. задачу 130). Что и требовалось доказать.
Источник: Венгерские математические олимпиады. — 2004-2005
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2009, № 2, задача 1 (2008, с. 147), с. 85