16276. Трапеция DEFG
с прямыми углами при вершинах E
и F
описана около окружности радиуса 2. Сторона DE
равна 3. Найдите площадь трапеции.
Ответ. 18.
Решение. Пусть O
— центр окружности, а A
, B
, C
и M
— точки касания со сторонами ED
, DG
, GF
и FE
соответственно. Тогда AOME
и CFMO
— квадраты со стороной 2, поэтому
CF=OM=2,~AE=OM=2,~DB=DA=DE-AE=3-2=1.
Обозначим BG=CG=x
. Поскольку OB
— высота прямоугольного треугольника DOG
, проведённая из вершины прямого угла (см. задачу 313),
4=OB^{2}=BH\cdot BG=1\cdot x=x
(см. задачу 2728). Тогда
GF=CG+CF=x+2=4+2=6.
Следовательно,
S_{DEFG}=\frac{1}{2}(DE+FG)\cdot EF=\frac{1}{2}(3+6)\cdot4=18.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2009, № 4, задача M259, с. 204