16287. Дан прямоугольник ABCD
со сторонами AB=8
и BC=6
. Найдите расстояние между центрами окружностей, вписанных в треугольники ABD
и BCD
.
Ответ. 2\sqrt{5}
.
Решение. Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры окружностей вписанных в равные прямоугольные треугольники BAD
и DCB
, r
— радиус окружностей. По теореме Пифагора находим, что BD=10
. Тогда (см. задачу 217)
r=\frac{AB+AD-BD}{2}=\frac{8+6-10}{2}=2.
Пусть вписанные окружности треугольников BAD
и DCB
касаются их общей гипотенузы в точках M
и N
соответственно. Тогда (см. задачу 219)
BN=DM=\frac{AD+BD-AB}{2}=\frac{6+10-8}{2}=4~\Rightarrow~MN=BD-2BN=10-8=2.
Пусть F
— проекция точки O_{2}
на прямую O_{1}M
. Тогда
O_{1}F=O_{1}M+MF=O_{1}M+O_{2}N=2+2=4.
Из прямоугольного треугольника O_{1}FO_{2}
находим что
O_{1}O_{2}=\sqrt{O_{1}F^{2}+O_{2}F^{2}}=\sqrt{O_{1}F^{2}+MN^{2}}=\sqrt{4^{2}+2^{2}}=2\sqrt{5}.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2010, № 2, задача M396, с. 75