16292. Биссектрисы AK
и CL
неравностороннего треугольника ABC
пересекаются в точке I
; точки O
и H
— соответственно центр описанной окружности и ортоцентр треугольника ABC
. Докажите, что следующие утверждения равносильны:
а) прямая KL
— касательная к описанным окружностям треугольников ALI
, BHI
и BKI
;
б) точки A
, B
, K
, L
и O
лежат на одной окружности.
Решение. Обозначим углы при вершинах A
, B
и C
треугольника ABC
через \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно.
Пусть прямая KL
касается описанных окружностей треугольников ALI
, BHS
и BKI
.
Поскольку AK
— биссектриса угла BAC
, а прямая KL
— касательная к описанной окружности треугольника ALI
, то из теоремы об угле между касательной и хордой получаем
\angle KLI=\angle LAI=\angle IAB~\Rightarrow~\angle KLB=\angle KAB.
Значит (см. задачу 12), точки A
, B
, K
и L
лежат на одной окружности. Кроме того, \angle LBK=\angle KAL
, поэтому \alpha=\beta
, и треугольник ABC
равнобедренный (CA=CB
).
Пусть прямая KL
касается описанной окружности треугольника BHI
в точке T
. Тогда по теореме о касательной и секущей
LT^{2}=LI\cdot LB=LK^{2}.
Значит (см. задачу 4776), прямая KL
касается описанной окружности треугольника BHI
в точке K
. Тогда четырёхугольник HBKI
вписан в окружность, и
\angle HBK+\angle HIK=180^{\circ}.
Треугольник ABC
равнобедренный (CA=CB
), поэтому точки C
, I
, H
и O
лежат на одной прямой. Тогда
\angle HBK=\angle KIC~\Rightarrow~90^{\circ}-\gamma=\frac{\alpha}{2}+\frac{\gamma}{2}~\Rightarrow~\alpha+3\gamma=180^{\circ},
а так как
\alpha=\beta~\mbox{и}~\alpha+\beta+\gamma=180^{\circ},
то из системы
\syst{2\alpha+\gamma=180^{\circ}\\\alpha+3\gamma=180^{\circ}\\}
находим, что \alpha=\beta=72^{\circ}
и \gamma=36^{\circ}
. Тогда
\angle OBK=\frac{1}{2}(180^{\circ}-2\alpha)=\frac{1}{2}(180^{\circ}-72^{\circ})=18^{\circ},
\angle KAO=\angle KAC-\angle OAC=\frac{\alpha}{2}-\frac{1}{2}(180^{\circ}-2\beta)=\frac{\alpha}{2}-90^{\circ}+\alpha=
=\frac{3}{2}\alpha-90^{\circ}=108^{\circ}-90^{\circ}=18^{\circ}=\angle OBK.
Значит, четырёхугольник AOKB
вписанный. Поскольку через три точки A
, B
и K
, не лежащие на одной прямой, проходит единственная окружность, то точки A
, B
, K
, L
и O
лежат на одной окружности.
Предположим теперь, что точки A
, B
, K
, L
и O
лежат на одной окружности.
Из вписанного четырёхугольника ABKL
получаем
\angle LAK=\angle LBK~\Rightarrow~\alpha=\beta~\Rightarrow~LK\parallel AB~\Rightarrow
\Rightarrow~\angle ILK=\angle IBA=\angle IAL~\mbox{и}~\angle IKL=\angle IAB=\angle IBK.
Значит, прямая KL
касается описанной окружности треугольника ALI
в точке L
, а описанной окружности треугольника BKI
— в точке K
.
Из вписанного четырёхугольника ABKO
получаем
\angle OBK=\angle KAO~\Rightarrow~90^{\circ}-\alpha=\frac{\alpha}{2}-(90^{\circ}-\beta),
а так как \alpha=\beta
, то
90^{\circ}-\alpha=\frac{\alpha}{2}-(90^{\circ}-\alpha)~\Rightarrow~\alpha=72^{\circ}~\Rightarrow~\beta=72^{\circ}~\mbox{и}~\gamma=36^{\circ}~\Rightarrow
\Rightarrow~\angle IKL=\angle IAB=\frac{\alpha}{2}=36^{\circ}=\angle IBK~\mbox{и}~\angle HBK=90^{\circ}-\gamma=54^{\circ},
а также
\angle KIC=\frac{\alpha}{2}+\frac{\gamma}{2}=54^{\circ}=\angle HBK.
Значит, четырёхугольник IHBK
вписанный, и прямая LK
касается описанной окружности треугольника BHI
в точке K
.
Следовательно, прямая KL
— касательная к описанным окружностям треугольников ALI
, BHI
и BKI
.
Утверждение задачи доказано.
Источник: Математические олимпиады Чехии и Словакии. — 2006
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2010, № 4, задача 3 (2009, с. 81-82), с. 219