16313. Окружность \Gamma
описана около равнобедренного треугольника ABC
(AB=AC
), а окружность \gamma
вписана в этот треугольник. Докажите, что окружность \gamma'
, равная \gamma
, касающаяся прямой BC
и внутренним образом касающаяся окружности \Gamma
, касается высоты треугольника ABC
, проведённой из вершины A
.
Решение. Рассмотрим случай остроугольного треугольника (см. рис.).
Пусть R
и r
— радиусы окружностей \Gamma
и \gamma
соответственно, O
и I
соответственно — их центры, AH
— высота треугольника ABC
.
Пусть D
— центр окружности \gamma'
, а луч OD
пересекает окружность \Gamma
в точке E
. Тогда E
— точка касания окружностей \Gamma
и \gamma'
.
Первый способ. Из касания окружностей следует, что
OD=OE-DE=R-r.
По формуле Эйлера (см. задачу 126)
OI^{2}=R^{2}-2rR.
Из прямоугольного треугольника DIO
получаем
DI^{2}=OD^{2}-OI^{2}=(R-r)^{2}-(R^{2}-2rR)=R^{2}-2Rr+r^{2}-R^{2}+2Rr=r^{2},
откуда DI=r
. Следовательно, окружность радиуса r
с центром D
касается прямой AH
. Что и требовалось доказать.
Второй способ. Обозначим \angle BAC=\alpha
, \angle ABC=\angle ACB=\beta
.
Центральный угол BOC
вдвое больше вписанного угла BAC
, а OH
— высота и биссектриса равнобедренного треугольника BOC
с боковыми сторонами OB=OC=R
, поэтому
\angle COH=\alpha,~OH=OC\cos\alpha=R\cos\alpha,~OI=OH-IH=R\cos\alpha-r.
Тогда задача сводится к доказательству равенства DI=r
. Заметим, что
DI=r~\Leftrightarrow~DO^{2}-OI^{2}=r^{2}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~(R-r)^{2}=(R\cos\alpha-r)^{2}+r^{2}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~(R-r)^{2}=(R\cos2\beta+r)^{2}+r^{2}
(так как \cos\alpha=-\cos2\beta
).
Расстояния от точки O
до сторон AB
, AC
и BC
, равны
R\cos\beta,~R\cos\beta,~R\cos\alpha=-R\cos2\beta
соответственно. Тогда по формуле Карно (см. задачу 3257)
2R\cos\beta-R\cos2\beta=R+r~\Rightarrow~r=R(2\cos\beta-\cos2\beta-1)=2R(\cos\beta-\cos^{2}\beta).
Значит,
r^{2}=R^{2}(4\cos^{2}\beta+8\cos^{3}\beta+4\cos^{2}\beta),
(R-r)^{2}=R^{2}(1-2\cos\beta+2\cos^{2}\beta)^{2}=
=R^{2}(1+4\cos^{2}\beta+\cos^{4}\beta-4\cos\beta+4\cos^{2}\beta-8\cos^{3}\beta),
(R\cos2\beta+r)^{2}=R^{2}(\cos2\beta+2\cos\beta-\cos^{2}\beta-1)^{2}=
R^{2}(2\cos\beta-1)^{2}=R^{2}(4\cos^{2}\beta-4\cos\beta+1).
Тогда
(R-r)^{2}=(R\cos2\beta+r)^{2}+r^{2}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~R^{2}(1+4\cos^{2}\beta+\cos^{4}\beta-4\cos\beta+4\cos^{2}\beta-8\cos^{3}\beta)=
=R^{2}(4\cos^{2}\beta-4\cos\beta+1)+R^{2}(4\cos^{2}\beta+8\cos^{3}\beta+4\cos^{2}\beta)~\Leftrightarrow~0=0.
Что и требовалось доказать.
Источник: Индийские математические олимпиады. — 2007
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2011, № 6, задача 1 (2010, с. 278-279), с. 369