16326. Радиусы вневписанных окружностей треугольника со сторонами a
, b
и c
, касающихся этих сторон равны r_{a}
, r_{b}
и r_{c}
соответственно. Докажите, что
\frac{(r_{a}+r_{b})(r_{b}+r_{c})}{ac}+\frac{(r_{a}+r_{c})(r_{c}+r_{b})}{cb}+\frac{(r_{b}+r_{c})(r_{c}+r_{a})}{ab}\geqslant9.
Решение. Пусть S
— площадь треугольника, p
— полупериметр. Тогда (см. задачи 392 и 2730)
r_{a}=\frac{S}{p-a},~r_{b}=\frac{S}{p-b},~r_{c}=\frac{S}{p-c},~S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},
поэтому
r_{a}+r_{b}=\frac{S}{p-a}+\frac{S}{p-b}=\frac{S(p-b)+S(p-a)}{(p-a)(p-b)}=\frac{cS}{(p-a)(p-b)},
Аналогично,
r_{b}+r_{c}=\frac{aS}{(p-b)(p-c)}.
Значит,
\frac{(r_{a}+r_{b})(r_{b}+r_{c})}{ac}=\frac{S^{2}}{(p-a)(p-b)^{2}(p-c)}=\frac{p(p-a)(p-b)(p-c)}{(p-a)(p-b)^{2}(p-c)}=\frac{p}{p-b}.
Аналогично,
\frac{(r_{b}+r_{c})(r_{c}+r_{a})}{ab}=\frac{p}{p-c},~\frac{(r_{c}+r_{a})(r_{a}+r_{b})}{cb}=\frac{p}{p-a}.
Сложив эти три равенства, получим
\frac{(r_{a}+r_{b})(r_{b}+r_{c})}{ac}+\frac{(r_{a}+r_{c})(r_{c}+r_{b})}{cb}+\frac{(r_{b}+r_{c})(r_{c}+r_{a})}{ab}=
=\frac{p}{p-a}+\frac{p}{p-b}+\frac{p}{p-c},
а так как среднее арифметическое трёх положительных чисел \frac{1}{p-a}
, \frac{1}{p-b}
и \frac{1}{p-c}
не меньше их среднего гармонического (см. примечание к задаче 3399), то
\frac{\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}}{3}\geqslant\frac{1}{\frac{(p-a)+(p-b)+(p-c)}{3}}~\Leftrightarrow~\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\geqslant\frac{9}{p}.
Следовательно,
\frac{p}{p-a}+\frac{p}{p-b}+\frac{p}{p-c}\geqslant9.
Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2012, № 5, задача 3647 (2011, с. 236, 238), с. 208