16360. Медианы треугольника ABC
, проведённые к сторонам BC=a
, CA=b
и AB=c
, равны m_{a}
, m_{b}
и m_{c}
соответственно, а радиус вписанной окружности треугольника равен r
. Докажите, что
\frac{m_{a}+m_{b}+m_{c}}{\sin^{2}\angle A+\sin^{2}\angle B+\sin^{2}\angle C}\geqslant4r.
Решение. Пусть углы, при вершинах A
, B
и C
треугольника ABC
равны \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно, а R
— радиус описанной окружности треугольника.
По теореме синусов
2\sin\alpha=\frac{a}{R},~2\sin\beta=\frac{b}{R},~2\sin\gamma=\frac{c}{R}.
Тогда
\frac{m_{a}+m_{b}+m_{c}}{\sin^{2}\alpha+\sin^{2}\beta+\sin^{2}\gamma}\geqslant4r~\Leftrightarrow~m_{a}+m_{b}+m_{c}\geqslant r(4\sin^{2}\alpha+4\sin^{2}\beta+4\sin^{2}\gamma)~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~m_{a}+m_{b}+m_{c}\geqslant\frac{r}{R^{2}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}).
Пусть высоты треугольника ABC
, проведённые из вершин A
, B
и C
, равны h_{a}
, h_{b}
и h_{c}
соответственно. Тогда
h_{a}+h_{b}+h_{c}\geqslant9r
(см. примечание к задаче 16158), а так как
m_{a}\geqslant h_{a},~m_{b}\geqslant h_{b},~m_{c}\geqslant h_{c},
то
m_{a}+m_{b}+m_{c}\geqslant h_{a}+h_{b}+h_{c}\geqslant9r.
Кроме того,
a^{2}+b^{2}+c^{2}\leqslant9R^{2}
(см. задачу 3968), поэтому
\frac{r}{R^{2}}(a^{2}+b^{2}+c^{2})\leqslant\frac{r}{R^{2}}\cdot9R^{2}=9r\leqslant m_{a}+m_{b}+m_{c}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2017, № 6, задача 4158, с. 272