S

a

b

c

d

\frac{(a+b)^{5}}{c+d}+\frac{(b+c)^{5}}{d+a}+\frac{(c+d)^{5}}{a+b}+\frac{(d+a)^{5}}{b+c}\geqslant64S^{2}.

p

S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}.

p-a=w,~p-b=x,~p-c=y,~p-d=z.

c+d=(p-y)+(p-z)=2p-y-z=a+b+c+d-y-z~\Rightarrow

\Rightarrow~a+b=y+z.

b+c=z+w,~c+d=w+x,~d+a=x+y.

\frac{(a+b)^{5}}{c+d}+\frac{(b+c)^{5}}{d+a}+\frac{(c+d)^{5}}{a+b}+\frac{(d+a)^{5}}{b+c}=

=\frac{(y+z)^{5}}{w+x}+\frac{(z+w)^{5}}{x+y}+\frac{(w+x)^{5}}{y+z}+\frac{(x+y)^{5}}{z+w}\geqslant

\geqslant4\sqrt[{4}]{{\frac{(y+z)^{5}}{w+x}\cdot\frac{(z+w)^{5}}{x+y}\cdot\frac{(w+x)^{5}}{y+z}\cdot\frac{(x+y)^{5}}{z+w}}}=

=4\sqrt[{4}]{{(y+z)^{4}(z+w)^{4}(w+x)^{4}(x+y)^{4}}}=

=4(y+z)(z+w)(w+x)(x+y)\geqslant

\geqslant4\cdot2\sqrt{yz}\cdot2\sqrt{zw}\cdot2\sqrt{wx}\cdot2\sqrt{xy}=

=64xyzt=64\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}=64S^{2}.

S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}=\sqrt{(p-a)(p-b)}\cdot\sqrt{(p-c)(p-d)}\leqslant

\leqslant\frac{(p-a)+(p-b)}{2}\cdot\frac{(p-c)+(p-d)}{2}=

=\frac{1}{4}(2p-a-b)\cdot(2p-c-d)=\frac{1}{4}(c+d)(a+b).

S\leqslant\frac{1}{4}(b+c)(a+d).

64S^{2}=4\cdot16S^{2}\leqslant4\cdot(c+d)(a+b)(b+c)(a+d)=

=4\sqrt[{4}]{{\frac{(a+b)^{5}}{c+d}\cdot\frac{(b+c)^{5}}{d+a}\cdot\frac{(c+d)^{5}}{a+b}\cdot\frac{(d+a)^{5}}{b+c}}}\leqslant

\leqslant\frac{(a+b)^{5}}{c+d}+\frac{(b+c)^{5}}{d+a}+\frac{(c+d)^{5}}{a+b}+\frac{(d+a)^{5}}{b+c}.