16389. Углы остроугольного треугольника равны \alpha
, \beta
и \gamma
. Докажите, что
\frac{\sin^{2}\alpha}{\cos^{2}\beta+\cos^{2}\gamma}+\frac{\sin^{2}\beta}{\cos^{2}\alpha+\cos^{2}\gamma}+\frac{\sin^{2}\gamma}{\cos^{2}\alpha+\cos^{2}\beta}\leqslant\frac{9}{2}.
Решение. Первый способ. Заметим, что
\cos^{2}\beta+\cos^{2}\gamma=\frac{1+\cos2\beta}{1+\cos2\gamma}=1+\frac{1}{2}(\cos2\beta+\cos2\gamma)=1+\cos(\beta-\gamma)\cos(\beta+\gamma)=
=1+\cos(\beta-\gamma)\cos(180^{\circ}-\alpha)=1-\cos(\beta-\gamma)\cos\alpha\geqslant1-\cos\alpha
(последнее неравенство верно, так как данный треугольник прямоугольный). Аналогично,
\cos^{2}\alpha+\cos^{2}\gamma\geqslant1-\cos\beta~\mbox{и}~\cos^{2}\alpha+\cos^{2}\beta\geqslant1-\cos\gamma.
Следовательно, применив неравенство
\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma\leqslant\frac{3}{2}
(см. задачу 4157а), получим
\frac{\sin^{2}\alpha}{\cos^{2}\beta+\cos^{2}\gamma}+\frac{\sin^{2}\beta}{\cos^{2}\alpha+\cos^{2}\gamma}+\frac{\sin^{2}\gamma}{\cos^{2}\alpha+\cos^{2}\beta}\leqslant
\leqslant\frac{1-\cos^{2}\alpha}{1-\cos\alpha}+\frac{1-\cos^{2}\beta}{1-\cos\beta}+\frac{1-\cos^{2}\gamma}{1-\cos\gamma}=(1+\cos\alpha)+(1+\cos\beta)+(1+\cos\gamma)=
=3+(\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma)\leqslant3+\frac{3}{2}=\frac{9}{2}.
Что и требовалось доказать.
Второй способ. Косинусы острых углов положительны, поэтому по неравенству Коши (см. задачу 3399)
\cos^{2}\beta+\cos^{2}\gamma\geqslant2\cos\beta\cos\gamma.
Кроме того,
\sin^{2}\alpha=1-\cos^{2}\alpha=\cos^{2}\beta+\cos^{2}\gamma+2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma
(см. задачу 3254а). Значит,
\frac{\sin^{2}\alpha}{\cos^{2}\beta+\cos^{2}\gamma}=\frac{\cos^{2}\beta+\cos^{2}\gamma+2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma}{\cos^{2}\beta+\cos^{2}\gamma}=1+\frac{2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma}{\cos^{2}\beta+\cos^{2}\gamma}\leqslant
\leqslant1+\frac{2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma}{2\cos\beta\cos\gamma}=1+\frac{\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma}{\cos\beta\cos\gamma}=1+\cos\alpha.
Аналогично,
\frac{\sin^{2}\beta}{\cos^{2}\alpha+\cos^{2}\gamma}\leqslant1+\cos\beta,~\frac{\sin^{2}\gamma}{\cos^{2}\alpha+\cos^{2}\beta}\leqslant1+\cos\gamma.
Сложив эти три неравенства, получим
\frac{\sin^{2}\alpha}{\cos^{2}\beta+\cos^{2}\gamma}+\frac{\sin^{2}\beta}{\cos^{2}\alpha+\cos^{2}\gamma}+\frac{\sin^{2}\gamma}{\cos^{2}\alpha+\cos^{2}\beta}\leqslant
\leqslant3+(\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma)\leqslant3+\frac{3}{2}=\frac{9}{2}
(см. задачу 3254a). Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2021, № 4, задача 4590, с. 217