16418. Высоты AD
, BE
и CF
треугольника ABC
пересекаются в точке H
. На отрезках DH
, EH
и FH
как на диаметрах построены окружности. Докажите, что общие хорды каждой пары окружностей равны.
Решение. Пусть ABC
— остроугольный треугольник. Окружности, построенные на сторонах HE
и HF
треугольника DHE
как на диаметрах, пересекаются на его третьей стороне EF
(см. задачу 1703). Аналогично, окружности с диаметрами HD
и HE
пересекаются на отрезке DE
, а окружности с диаметрами HD
и HA
— на отрезке DF
.
Заметим, что DEF
— ортотреугольник остроугольного треугольника ABC
, поэтому H
— точка пересечения биссектрис треугольника DEF
(см. задачу 533). Значит, если HX
— общая хорда HX
окружностей с диаметрами HE
и HD
, а HY
— общая хорда окружностей с диаметрами HF
и HD
, то H
— середина меньшей дуги окружности с диаметром HD
. Следовательно, HX=HY
. Аналогично, для любой другой пары рассматриваемых окружностей.
Если треугольник тупоугольный, то две его высоты — биссектрисы внешних углов ортотреугольника, а третья — биссектриса внутреннего угла (см. примечание 2 к задаче 533). Значит, с некоторыми изменениями приведённое выше рассуждение годится и для тупоугольного треугольника.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 1940, том 14, № 6, задача 320, с. 351