16442. Хорды CD
и EF
перпендикулярны диаметру AB
окружности. Докажите, что радикальная ось окружности с центром A
радиуса AC
и окружности с центром B
радиуса BE
есть прямая, равноудалённая от прямых CD
и EF
.
Решение. Пусть L
и M
— точки пересечения отрезков соответственно CD
и EF
с диаметром AB
. Радикальная ось окружностей перпендикулярна их линии центров, поэтому достаточно доказать, что середина N
отрезка LM
лежит на радикальной оси окружностей с центрами A
и B
из условия задачи, т. е. что степени s_{1}
и s_{2}
относительно этих окружности равны.
Пусть O
— центр окружности с диаметром AB
, r_{1}
и r_{2}
— соответственно радиусы этих окружностей, а OA=d_{1}
и OB_{1}=d_{2}
(см. задачи 2635 и 2636). Тогда
s_{1}=d_{1}^{2}-r_{1}^{2},~s_{2}=d_{2}^{2}-r_{2}^{2}.
Учитывая, что O
— середина AB
, а N
— середина LM
, получим
NA^{2}-AC^{2}=(NL+AL)^{2}-(AL^{2}+LC^{2})=
=NL^{2}+2NL\cdot AL+AL^{2}-AL^{2}-LC^{2}=
=NL^{2}+2NL\cdot LA-LC^{2}=NL^{2}+2NL\cdot LA-(CO^{2}-LO^{2})=
=NL^{2}+2NL\cdot AL-CO^{2}+LO^{2}=NL^{2}+2NL\cdot AL-CO^{2}+(AO-AL)^{2}=
=NL^{2}+2NL\cdot AL-CO^{2}-AO^{2}+2AO\cdot AL-AL^{2}=
=NL^{2}+2NL\cdot AL-2AO\cdot AL+AL^{2}=
=NL^{2}-AL(2AO-2NL-AL)=NL^{2}-AL(2AO-LM-AL)=
=NL^{2}-AL(AB-AM)=NL^{2}-AL\cdot BM.
Аналогично получим, что
NB^{2}-BE^{2}=NM^{2}-BM\cdot AL,
Значит,
NM^{2}-NB^{2}+BE^{2}=NL^{2}-NA^{2}+AC^{2},
а так как NL=NM
, то
NA^{2}-AC^{2}=NB^{2}-BE^{2},~\mbox{или}~d_{1}^{2}-r_{1}^{2}=d_{2}^{2}-r_{2}^{2}.
Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 1954, том 28, № 2, задача 200, с. 112