16463. Равновеликие квадрат и треугольник вписаны в полуокружность так, что одна сторона треугольника совпадает с диаметром полуокружности. Докажите, что центр вписанной окружности треугольника лежит на одной из сторон квадрата.
Решение. Пусть одна из вершин квадрата разбивает диаметр полуокружности на отрезки, равные x
и y
(см. рис.). Тогда площадь квадрата (квадрат его стороны) равна xy
(см. задачу 2728).
Пусть вписанная окружность треугольника, о котором говорится в условии, разбивает диаметр полуокружности на отрезки, равные x'
и y'
. Тогда площадь треугольника равна x'y'
(см. задачу 4862).
По условию xy=x'y'
и x+y=x'+y'
, поэтому либо x=x'
и y=y'
, либо x=y'
и y=x'
(например, по теореме, обратной теореме Виета). В каждом из этих случаев проекция одной из вершин квадрата, лежащей на дуге полуокружности, совпадает с проекцией центра вписанной окружности треугольника. Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 1970, том 43, № 3, задача 741, с. 167