16464. Докажите, что для треугольника со сторонами a
, b
, c
и противолежащих им углами \alpha
, \beta
, \gamma
соответственно верны равенства
\frac{\ctg\alpha}{b^{2}+c^{2}-a^{2}}=\frac{\ctg\beta}{a^{2}+c^{2}-b^{2}}=\frac{\ctg\gamma}{a^{2}+b^{2}-c^{2}}.
Решение. Пусть S
— площадь данного треугольника, R
— радиус его описанной окружности. Применив теорему косинусов и формулы площади треугольника (см. задачи 4254 и 4259), получим
\frac{\ctg\alpha}{b^{2}+c^{2}-a^{2}}=\frac{\ctg\alpha}{2bc\cos\alpha}=\frac{1}{2bc\sin\alpha}=\frac{1}{4S}=\frac{R}{abc},
\frac{\ctg\beta}{a^{2}+c^{2}-b^{2}}=\frac{\ctg\beta}{2ac\cos\beta}=\frac{1}{2ac\sin\beta}=\frac{1}{4S}=\frac{R}{abc},
\frac{\ctg\gamma}{a^{2}+b^{2}-c^{2}}=\frac{\ctg\gamma}{2ab\cos\gamma}=\frac{1}{2ab\sin\gamma}=\frac{1}{4S}=\frac{R}{abc}.
Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 1973, том 46, № 1, задача 827, с. 48