16476. Найдите наибольшую площадь треугольника ABC
, если одна из его сторон равна \lambda
, а две медианы перпендикулярны.
Ответ. \frac{3}{4}\lambda^{2}
или \frac{3}{8}\lambda^{2}
.
Решение. Пусть BM=3s
и CN=3t
— медианы треугольника ABC
со сторонами BC=a
, CA=b
и AB=c
, \angle BAC=\alpha
, S
— площадь треугольника ABC
.
По условию BM\perp CN
, поэтому b^{2}+c^{2}=5a^{2}
(см. задачу 1947). Тогда
S^{2}=\left(\frac{1}{2}bc\sin\alpha\right)^{2}=\frac{1}{4}b^{2}c^{2}(1-\cos^{2}\alpha)=\frac{1}{4}b^{2}c^{2}-\frac{1}{4}b^{2}c^{2}\cdot\frac{(b^{2}+c^{2}-a^{2})^{2}}{4b^{2}c^{2}}=
=\frac{1}{4}b^{2}c^{2}-\frac{1}{4}b^{2}c^{2}\cdot\frac{(5a^{2}-a^{2})^{2}}{4b^{2}c^{2}}=\frac{1}{4}b^{2}c^{2}-a^{4}.
Если a=\lambda
, то (см. задачу 3399)
S^{2}=\frac{1}{4}b^{2}c^{2}-a^{4}=\frac{1}{4}b^{2}(5a^{2}-b^{2})-a^{4}=\frac{1}{4}b^{2}(5\lambda^{2}-b^{2})-\lambda^{4}\leqslant
\leqslant\frac{1}{4}\cdot\left(\frac{b^{2}+(5\lambda^{2}-b^{2})}{2}\right)^{2}-\lambda^{4}=\frac{9}{16}\lambda^{4},
причём равенство достигается при b^{2}=\frac{5}{2}\lambda^{2}
. Следовательно, в этом случае S_{\max}=\frac{3}{4}\lambda^{2}
.
Если b=\lambda
, то
S^{2}=\frac{1}{4}b^{2}c^{2}-a^{4}=\frac{1}{4}\lambda^{2}(5a^{2}-\lambda^{2})-a^{4}=\frac{5}{4}\lambda^{2}a^{2}-\frac{1}{4}\lambda^{4}-a^{4}=
=-a^{4}+2\cdot\frac{5}{8}\lambda^{2}a^{2}-\frac{25}{64}\lambda^{4}+\frac{25}{64}\lambda^{4}-\frac{1}{4}\lambda^{4}=\frac{9}{64}\lambda^{4}-\left(a^{2}-\frac{5}{8}\lambda^{2}\right)^{2}\leqslant\frac{9}{64}\lambda^{4},
причём равенство достигается при a^{2}=\frac{5}{8}\lambda^{2}
. Следовательно, в этом случае S_{\max}=\frac{3}{8}\lambda^{2}
.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 1988, том 61, № 2, задача 1265, с. 125