16490. Дана трапеция ABCD
с основаниями AB
и CD
, в которой AB=AC+CD
. Точка E
— середина диагонали BD
, а F
— точка на AC
, для которой BF\parallel CE
. Докажите, что:
а) AE\perp BF
и DF\perp BF
;
б) точка C
— центр вписанной окружности треугольника DEF
тогда и только тогда, когда AD\perp AB
;
в) EF\parallel AD
тогда и только тогда, когда AB=3CD
.
Решение. а) На продолжении отрезка AC
за точку C
отложим отрезок CG=CD
. Пусть H
— точка пересечения прямых CE
и AB
.
Поскольку E
— середина CD
, треугольники CDE
и HBE
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам, поэтому BH=CD
. Значит,
AC=AB-CD=AB-BH=AH.
Тогда AE
— медиана, а значит, высота равнобедренного треугольника CAH
. При этом CG=CD=BF
, поэтому треугольник BAG
тоже равнобедренный, и BG\parallel CD
. Следовательно, точка G
совпадает с F
, а так как AE\perp BG
, то AE\perp BF
.
Обозначим
\angle CFD\angle CDF=\alpha.
По теореме о внешнем угле треугольника \angle ACD=2\alpha
, поэтому
\angle BAF=\angle BAC=\angle ACD=2\alpha,
а так как треугольник BAF
равнобедренный, то
\angle AFB=\frac{180^{\circ}-2\alpha}{2}=90^{\circ}-\alpha.
Следовательно,
\angle DFB=\angle AFB+\angle AFD=(90^{\circ}-\alpha)+\alpha=90^{\circ},
т. е. DF\perp BF
.
б) Пусть C
— центр вписанной окружности треугольника DEF
. Тогда DC
— биссектриса угла EDF
, поэтому
\angle ABD=\angle BDC=\alpha,
а так как
\angle BAC=\angle ACD=2\alpha,
и AE
— биссектриса угла BAC
, то
\angle BAE=\alpha=\angle ABE~\Rightarrow~EA=EB=ED.
Значит (см. задачу 1188), \angle BAD=90^{\circ}
.
Обратно, если \angle BAD=90^{\circ}
, то (см. задачу 1109)
EA=EB=ED~\Rightarrow~\angle ABE=\angle BAE=\alpha~\Rightarrow~\angle BDC=\angle ABD=\alpha=\angle CDF,
т. е. DC
— биссектриса угла EDF
.
Кроме того, FE
— медиана прямоугольного треугольника BFD
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому
\angle DFE=\angle EDF=2\alpha.
Значит, FC
— биссектриса угла DFE
. Следовательно, C
— центр вписанной окружности треугольника DEF
.
в) Пусть BH=CD=a
. Если AB=3a
, то AH=2a
. Из прямоугольного треугольника AEH
и равнобедренного треугольника CDF
получаем
AE=2a\cos\alpha=DF.
Противоположные стороны DF
и AE
четырёхугольника ADFE
равны и параллельны, значит, это параллелограмм, и EF\parallel AD
.
Обратно, если EF\parallel AD
, то ADEF
— параллелограмм, поэтому
DF=AE=2a\cos\alpha,~AH=\frac{DF}{\cos\alpha}=2a.
Следовательно, AB=3a
.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 1995, том 68, № 2, задача 1444, с. 149