16514. На сторонах BC
, CA
и AB
отмечены точки E
, F
и G
соответственно, причём прямая AE
проходит через середину R
отрезка BF
, прямая BF
— через середину S
отрезка CG
, а прямая CG
— через середину T
отрезка AE
. Найдите площадь треугольника RST
, если площадь треугольника ABC
равна 1.
Ответ. \frac{7-3\sqrt{5}}{4}
.
Решение. Обозначим \frac{BE}{BC}=x
, \frac{CF}{CA}=y
и \frac{AG}{AB}=z
. Тогда (см. задачи 3000 и 3007)
S_{\triangle ABE}=\frac{BE}{BC}S_{\triangle ABE}=x\cdot1=x,
\frac{S_{\triangle AGT}}{S_{\triangle ABE}}=\frac{AG}{AB}\cdot\frac{AT}{AE}=z\cdot\frac{1}{2}.
Значит,
S_{\triangle AGT}=S_{\triangle ABE}\cdot\frac{z}{2}=\frac{xz}{2}.
Аналогично,
S_{\triangle BCF}=y,~S_{\triangle CAG}=z,~S_{\triangle BER}=\frac{yx}{2},~S_{\triangle CFS}=\frac{zy}{2}.
Поскольку AT=TE
, то
S_{\triangle ACT}=\frac{1}{2}S_{\triangle ACE}=\frac{1}{2}(1-x)S_{\triangle ABC}=\frac{1-x}{2}.
В то же время,
S_{\triangle ACT}=S_{\triangle CAG}-S_{\triangle AGT}=z-\frac{xz}{2}.
Значит,
z-\frac{xz}{2}=\frac{1-x}{2}.
Аналогично,
x-\frac{yx}{2}=\frac{1-y}{2}~\mbox{и}~y-\frac{zy}{2}=\frac{1}{1-z}.
Тогда
\syst{z-\frac{xz}{2}=\frac{1-x}{2}\\x-\frac{yx}{2}=\frac{1-y}{2}\\y-\frac{zy}{2}=\frac{1}{1-z},\\}~\mbox{или}~\syst{z=\frac{1-x}{2-x}\\x=\frac{1-y}{2-y}\\y=\frac{1-z}{2-z}\\}
Из третьего и первого уравнения системы получим
y=\frac{1-\frac{1-x}{2-x}}{2-\frac{1-x}{2-x}}=\frac{1}{3-x}.
Тогда из второго уравнения —
x=\frac{1-y}{2-y}=\frac{1-\frac{1}{3-x}}{2-\frac{1}{3-x}}=\frac{2-x}{5-2x},~\mbox{или}~x^{2}-3x+1=0,
а так как x\lt1
, то x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}
. Аналогично находим, что y=\frac{3-\sqrt{5}}{2}
и z=\frac{3-\sqrt{5}}{2}
. Следовательно,
S_{\triangle RST}=S_{\triangle ABC}-S_{\triangle ACT}-S_{\triangle BAR}-S_{\triangle CBS}=1-3S_{\triangle ACT}=
=1-3\left(\frac{1-x}{2}\right)=1-3\left(\frac{1-\frac{3-\sqrt{5}}{2}}{2}\right)=\frac{7-3\sqrt{5}}{4}.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 2002, том 75, № 1, задача A4, с. 72
Источник: Математические олимпиады США. —