16554. Точка H
— ортоцентр треугольника ABC
, а P
— точка пересечения биссектрисы угла BAC
с описанной окружностью треугольника AHC
. Точка X
— центр описанной окружности треугольника AOB
, а Y
— ортоцентр треугольника APC
. Докажите, что отрезок XY
равен радиусу описанной окружности треугольника ABC
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке. Точка H'
, симметричная ортоцентру H
треугольника ABC
относительно прямой AC
, лежит на его описанной окружности (см. задачу 4785), поэтому центр описанной окружности треугольника CAH'
совпадает с центром O
описанной окружности треугольника ABC
.
Точки H'
и H
симметричны относительно прямой AC
, поэтому треугольник ACH
и ACH'
симметричны относительно этой прямой, а центр O'
описанной окружности треугольника ACH
симметричен центру O
описанной окружности треугольника ACH'
(и ABC
) относительно AC
.
Четырёхугольник AHPC
вписанный, а так как H
и Y
— ортоцентры треугольников ABC
и APC
, то
\angle ABC=180^{\circ}-\angle AHC=180^{\circ}-\angle APC=\angle AYC.
Значит, точка Y
лежит на описанной окружности треугольника ABC
(см. задачу 12), поэтому OC=OY=R
, где R
— радиус этой окружности.
С другой стороны, поскольку линия центров пересекающихся окружностей есть серединный перпендикуляр к их общей хорде, прямые OX
, XO'
и O'O
— серединные перпендикулярны к отрезкам AB
, AP
и AC
соответственно. Тогда
\angle OXO'=\angle BAP=\angle PAC=\angle XO'O,
поэтому треугольник XOO'
равнобедренный, OO'=OX
. Кроме того, прямые XO'
и YC
параллельны, так как обе они перпендикулярны прямой AP
, а OC=OY
как радиусы одно окружности. Тогда прямая AP
— общий серединный перпендикуляр к основаниям трапеции XYCO'
. Значит, эта трапеция равнобедренная. Следовательно,
XY=O'C=OC=R.
Что и требовалось доказать.
Аналогично для любого другого случая.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 2014, том 87, № 4, задача 5, с. 302
Источник: Математические олимпиады США. —