16568. В остроугольном треугольнике ABC
со сторонами BC=a
, CA=b
и AB=c
проведены высоты AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
. Докажите, что
AH\cdot AA_{1}+BH\cdot BB_{1}+CH\cdot CC_{1}=\frac{1}{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2}).
Решение. Четырёхугольники CB_{1}HA_{1}
и BCB_{1}C_{1}
вписанные (см. задачу 1689), поэтому (см. задачу 2636)
AH\cdot AA_{1}=AB_{1}\cdot AC=AC_{1}\cdot AB.
Аналогично,
BH\cdot BB_{1}=BA_{1}\cdot BC=BC_{1}\cdot BA~\mbox{и}~CH\cdot CC_{1}=CB_{1}\cdot CA=CA_{1}\cdot CB.
Умножив на два все три части каждого из этих неравенств и сложив результат, получим
AH\cdot AA_{1}+BH\cdot BB_{1}+CH\cdot CC_{1}=
(AB_{1}\cdot AC+BA_{1}\cdot BC+CB_{1}\cdot CA)+(AC_{1}\cdot AB+BC_{1}\cdot BA+CA_{1}\cdot CB)=
=(AB_{1}\cdot AC+CB_{1}\cdot CA)+(AC_{1}\cdot AB+BC_{1}\cdot BA)+(BA_{1}\cdot BC+CA_{1}\cdot CB)=
=CA(AB_{1}+B_{1}C)+AB(AC_{1}+C_{1}B)+BC(BA_{1}+A_{1}C)=
=CA\cdot CA+AB\cdot AB+BC\cdot BC=CA^{2}+AB^{2}+BC^{2}=b^{2}+c^{2}+a^{2}.
Следовательно,
AH\cdot AA_{1}+BH\cdot BB_{1}+CH\cdot CC_{1}=\frac{1}{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2}).
Что и требовалось доказать.
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — № 4.19, с. 43