16577. Четырёхугольник ABCD
вписан в окружность \Omega
. Точка M
— середина дуги AD
окружности \Omega
, не содержащей точек B
и C
. Отрезки BM
и CM
пересекают отрезок AD
в точках P
и QQ
соответственно. Известно, что AP:PQ:QD=1:3:2
. Вычислите значение выражения \frac{AC\cdot BD}{AB\cdot CD}
.
Ответ. 10.
Решение. Заметим, что BM
— биссектриса угла ABD
, а CM
— биссектриса угла ACD
(см. задачу 430). По свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509) из треугольников ABD
и ACD
получаем
\frac{BD}{AB}=\frac{DP}{PA}=\frac{5}{1}=5~\mbox{и}~\frac{AC}{CD}=\frac{AQ}{QD}=\frac{4}{2}=2.
Следовательно,
\frac{AC\cdot BD}{AB\cdot CD}=\frac{AC}{CD}\cdot\frac{BD}{AB}=2\cdot5=10.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2023-2024, 9 класс, школьный этап, задача 7