16585. Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD
перпендикулярны и пересекаются в точке O
. Центры вписанных окружностей треугольников ABC
, BCD
, CDA
, DAB
являются вершинами выпуклого четырёхугольника, периметр которого равен P
. Докажите, что сумма радиусов вписанных окружностей треугольников AOB
, BOC
, COD
, DOA
не превосходит \frac{P}{2}
.
Решение. В прямоугольном треугольнике AOB
радиус вписанной окружности равен
\frac{1}{2}(OA+OB-AB)
(см. задачу 217), что также равно расстоянию от вершины прямого угла до точки касания катета со вписанной окружностью (см. задачу 219). Складывая это равенство с аналогичными равенствами для треугольников BOC
, COD
, DOA
, получаем, что сумма S
радиусов вписанных окружностей треугольников AOB
, BOC
, COD
, DOA
равна
\frac{1}{2}(2(OA+OB+OC+OD)-P_{ABCD})=AC+BD-\frac{1}{2}P_{ABCD},
где P_{ABCD}
— периметр четырёхугольника ABCD
.
Пусть вписанные окружности треугольников ABC
и DAB
(с центрами I
и J
соответственно) касаются стороны AB
в точках K
и L
соответственно. Поскольку KL
— проекция отрезка IJ
на прямую AB
, то
IJ\geqslant KL=AK-AL=\frac{1}{2}(AC+AB-BC)-\frac{1}{2}(AD+AB-BD)=
=\frac{1}{2}(AC+BD-BC-AD).
Сложив это неравенство с аналогичными равенствами для расстояний между другими парами центров вписанных окружностей треугольников ABC
, BCD
, CDA
, DAB
, получим
P\geqslant\frac{1}{2}(4AC+4BD-2P_{ABCD})=2AC+2BD-P_{ABCD}=2S.
Что и требовалось доказать.
Примечание. Неравенство может обращаться в равенство (например, в случае прямоугольника ABCD
). Из решения видно, что это происходит в том случае, когда IJ\parallel AB
и верны аналогичные параллельности линии центров вписанных окружностей и сторон четырёхугольника ABCD
.
Автор: Берлов С. Л.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2023-2024, L, первый день, 10 класс, региональный этап, задача 10.5