16593. В окружность \omega
вписана трапеция ABCD
с основаниями AD=14
и BC=9
. Точка M
— середина дуги AD
окружности \omega
, не содержащей точек B
и C
. Прямая l
касается \omega
в точке C
, H
— основание перпендикуляра, опущенного из M
на прямую l
. Найдите CH
Ответ. 4,5.
Решение. Заметим, что меньшие дуги AB
и CD
окружности \omega
заключены между параллельными хордами AD
и BC
, значит, эти дуги равны (см. задачу 1678). Тогда равны дуги BAM
и CDM
, поэтому MB=MC
. Опустим перпендикуляр MP
на хорду BC
. В равнобедренном треугольнике BMC
высота MP
является медианой, поэтому CP=\frac{1}{2}BC=4{,}5
.
Из теоремы об угле между касательной и хордой (см. задачу 87) получаем
\angle HCM=\frac{1}{2}\smile CDM=\frac{1}{2}\smile BAM=\angle BCM=\angle PCM.
Значит, прямоугольные треугольники MHC
и MPC
равны по общей гипотенузе и острому углу. Следовательно, CH=CP=4{,}5
.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2023-2024, L, 11 класс, муниципальный этап, задача 11.6