16598. Четырёхугольник
ABCD
, в котором нет параллельных сторон, вписан в окружность
\omega
. Через вершину
A
параллельно
BC
проведена прямая
l_{a}
, через вершину
B
параллельно
CD
— прямая
l_{b}
, через вершину
C
параллельно
DA
— прямая
l_{c}
, через вершину
D
параллельно
AB
— прямая
l_{d}
. Четырёхугольник, последовательные стороны которого лежат на этих прямых (именно в этом порядке), вписан в окружность
\gamma
. Окружности
\omega
и
\gamma
пересекаются в точках
E
и
F
. Докажите, что прямые
AC
,
BD
и
EF
пересекаются в одной точке.
Решение. Без ограничения общности будем считать, что лучи
AB
и
DC
, а также лучи
CB
и
DA
. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке.
Пусть отрезки
AC
и
BD
пересекаются в точке
G
,
A'B'C'D'
— четырёхугольник, образованный прямыми
l_{a}
,
l_{b}
,
l_{c}
и
l_{d}
,
X
— точка пересечения прямых
AB
и
CD'
,
Y
— точка пересечения прямых
CD
и
AB'
.
Обозначим
\angle B'AB=\alpha
. Четырёхугольник
A'B'C'D'
вписанный, а
AX\parallel l_{d}
и
CY\parallel l_{b}
, поэтому
\alpha=\angle B'AX=180^{\circ}-\angle A'B'C'=\angle C'D'X=\angle YCA'.

Значит, во-первых, точки
A
,
D'
,
X
и
C'
лежат на одной окружности (из точек
A
и
D'
отрезок
XC'
виден под одним и тем же углом
\alpha
), обозначим её
\gamma_{1}
; во-вторых, точки
C
,
Y
,
A'
и
B'
лежат на одной окружности (сумма противоположных углов четырёхугольника
CYB'A'
равна
180^{\circ}
), обозначим её
\gamma_{2}
; в-третьих, точки
A
,
X
,
C
и
Y
лежат на одной окружности (
\angle A'CY=\angle BAX=\alpha
), обозначим её
\gamma_{0}
.
Заметим, что точка
B
лежит на радикальной оси
D'C'
окружностей
\gamma
и
\gamma_{1}
, а также на радикальной оси
AX
окружностей
\gamma_{0}
и
\gamma_{1}
. Следовательно,
B
— радикальный центр окружностей
\gamma
,
\gamma_{0}
и
\gamma_{1}
(см. задачи 6392 и 6393). Аналогично,
D
радикальный центр окружностей
\gamma
,
\gamma_{0}
и
\gamma_{2}
. Таким образом, прямая
BD
— радикальная ось окружностей
\gamma_{0}
и
\gamma
, прямая
AC
— радикальная ось окружностей
\omega
и
\gamma_{0}
, а прямая
EF
— радикальная ось окружностей
\omega
и
\gamma
. Следовательно, прямые
AC
,
BD
и
EF
пересекаются в одной точке — точке
G
.
Аналогично для любого другого случая.
Автор: Кузнецов А. С.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2023-2024, L, 11 класс, заключительный этап, задача 11.4