16601. Пусть I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
, N
— основание биссектрисы угла B
. Касательная к описанной окружности треугольника AIN
в вершине A
и касательная к описанной окружности треугольника CIN
в вершине C
пересекаются в точке D
. Докажите, что прямые AC
и DI
перпендикулярны.
Решение. Первый способ. Рассмотрим центр J
вневписанной окружности треугольника ABC
, касающейся стороны AC
. Поскольку
\angle IAJ=\angle ICJ=90^{\circ}
(биссектрисы смежных углов перпендикулярны), точки A
и C
лежат на окружности \omega
с диаметром IJ
. Из теоремы об угле между касательной и хордой (см. задачу 87) получаем
\angle ACD=\angle NCD=\angle CIN=\angle CIJ=\angle CAJ.
Аналогично \angle CAD=\angle ACJ
. Значит, треугольники ACD
и CAJ
симметричны относительно серединного перпендикуляра к общей стороне AC
.
Если точки D
и J
совпадают, то прямоугольные треугольники IAJ
и ICJ
равны по катету и гипотенузе. Значит, прямая ID
, или IJ
совпадает с указанным серединным перпендикуляром. Если они не совпадают, то точка D
также лежит на \omega
и DI\perp DJ\parallel AC
. Что и требовалось доказать.
Второй способ. Пусть перпендикуляр, опущенный из точки I
на прямую AC
вторично пересекает описанную окружность треугольника AIC
в точке D'
. Тогда
\angle D'AC=\angle D'IC=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle C=\frac{1}{2}(\angle A+\angle B)=\angle AIN.
Значит, D'A
— касательная к описанной окружности треугольника AIN
. Аналогично, D'C
— касательная к описанной окружности треугольника CIN
(см. задачу 144). Следовательно, точки D
и D'
совпадают.
Третий способ. Заметим, что точки I
и D
лежат по разные стороны от прямой AC
. Поскольку
\angle ACD=\angle NCD=\angle CIN~\mbox{и}~\angle CAD=\angle AIN,
то
\angle ADC=180^{\circ}-\angle ACD-\angle CAD=180^{\circ}-\angle AIC.
Значит, четырёхугольник AICD
вписанный. Один из углов между хордами AC
и DI
равен
\angle DAC+\angle ADI=\angle AIN+\angle ACI=\angle IAB+\angle ABI+\angle ACI=
=\frac{1}{2}(\angle A+\angle B+\angle C)=90^{\circ}.
Автор: Евдокимов М. А.
Источник: Турнир городов. — 2022-2023, XLIV, весенний тур, базовый вариант, 26 февраля, задача 3, 10-11 классы