16604. Точки E
и F
— середины оснований BC
и AD
соответственно равнобедренной трапеции ABCD
, а точки G
и H
— середин дуг BC
и AD
описанной окружности трапеции, не содержащих других вершин трапеции. Докажите, что среднее арифметическое отрезков AB
и BD
равно среднему геометрическому отрезков GF
и EH
, т. е. \frac{AB+BD}{2}=\sqrt{GF\cdot EH}
.
Решение. Заметим, что точки E
, F
, G
, H
лежат на одной прямой, а GH
— диаметр описанной окружности трапеции, поэтому треугольники GBH
и GAH
прямоугольные, причём BE
и AF
— их высоты, опущенные из вершин прямых углов. Следовательно (см. задачу 2728),
GF\cdot GH=GA^2~\mbox{и}~EH\cdot GH=BH^2,
откуда
\sqrt{GF\cdot EH}=\frac{GA\cdot BH}{GH}.
По теореме Птолемея (см. задачу 130) для вписанных четырёхугольников ABGH
и BGDH
имеем:
GA\cdot BH=AB\cdot GH+BG\cdot AH,
GD\cdot BH=BD\cdot GH-BG\cdot DH.
Но так как GA=GD
, AH=DH
, сложив эти равенства, находим:
2GA\cdot BH=AB\cdot GH+BD\cdot GH=(AB+BD)\cdot GH,
\frac{AB+BD}{2}=\frac{GA\cdot BH}{GH}=\sqrt{GF\cdot EH}.