16610. Пусть L
— середина меньшей дуги AC
описанной окружности остроугольного треугольника ABC
. Из вершины B
на касательную к описанной окружности, проведённую в точке L
, опустили перпендикуляр BP
. Докажите, что точки P
, L
и середины сторон AB
и BC
лежат на одной окружности.
Решение. Пусть M
, N
и K
— середины сторон AB
, BC
и AC
соответственно, H
— основание высоты, проведённой из вершины B
. Тогда H
— точка пересечения BP
и AC
, а так как MN
— средняя линия треугольника ABC
, то MN\parallel AC
. В то же время, поскольку L
— середина дуги AC
описанной окружности, касательная LP
к этой окружности параллельна хорде AC
. Значит, MN\parallel LP
, а тогда MPLN
— трапеция с основаниями MN
и LP
.
Кроме того, MH
— медиана прямоугольного треугольника AHB
, проведённая из вершины прямого угла, а NK
— средняя линия треугольника ABC
, поэтому (см. задачу 1109)
MH=\frac{1}{2}AB=NK.
Значит, MHKN
— тоже равнобедренная трапеция, поэтому \angle MHP=\angle NKL
, а так как PHKL
— прямоугольник, то PH=KL
. Треугольники MHP
и NKL
равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому MP=NL
. Значит, MPLN
— равнобедренная трапеция. Следовательно, около неё можно описать окружность (см. задачу 5003). Отсюда получаем утверждение задачи.
Автор: Марданов А. П.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2023, XIX, заочный тур, 8 класс, задача 1