16611. Диагонали прямоугольника ABCD
пересекаются в точке E
. Окружность с центром в точке E
лежит внутри прямоугольника. Из вершин C
, D
и A
к окружности проведены касательные CF
, DG
и AH
, причём CF
пересекает DG
в точке I
, EI
пересекает AD
в точке J
, а прямые AH
и CF
пересекаются в точке L
. Докажите, что отрезок LJ
перпендикулярен AD
.
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке. При симметрии относительно серединного перпендикуляра к диагонали AC
прямая CI
переходит в прямую AH
, а при симметрии относительно серединного перпендикуляра к стороне AD
прямая AH
переходит в прямую DG
. Значит (см. задачу 5107), угол между прямыми CI
и DG
вдвое больше угла между этими серединными перпендикулярами, т. е. \angle CID=2\angle EAD
, а так как по теореме о внешнем угле треугольника
\angle CED=\angle EAD+\angle EDA=2\angle EAD=\angle CID,
то точки C
, D
, I
и E
лежат на одной окружности (см. задачу 12), т. е. четырёхугольник CDEI
вписанный. Тогда \angle CEI=\angle CDI
, а так как \angle AEL=\angle ADC=90^{\circ}
, то из вписанности четырёхугольника CDEI
и симметрии относительно серединного перпендикуляра к AD
получаем
\angle JAL+\angle JEL=\angle IDA+(90^{\circ}+\angle AEJ)=\angle IDA+(90^{\circ}+\angle CEI)=
=\angle IDA+(90^{\circ}+\angle CDI)=90^{\circ}+(\angle IDA+\angle CDI)=90^{\circ}+90^{\circ}=180^{\circ}
Значит, точки A
, J
, E
и L
лежат на одной окружности, диаметр которой — отрезок AL
. Следовательно, \angle AJL=90^{\circ}
. Что и требовалось доказать.
Автор: Москвитин Н. А.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2023, XIX, заочный тур, 8 класс, задача 2