16618. Высоты BE
и CF
остроугольного треугольника ABC
пересекаются в точке H
. Прямая, проходящая через точку H
перпендикулярно EF
, пересекает прямую l
, проходящую через точку A
параллельно BC
, в точке P
. Биссектрисы углов, образованных пересечением прямых l
и MP
, пересекают прямую BC
в точках S
и T
. Докажите, что описанные окружности треугольников ABC
и PST
касаются.
Решение. Без ограничения общности будем считать, что точки на прямой BC
расположены так, как показано на рисунке.
Пусть O
— центр описанной окружности треугольника ABC
, а прямые PH
и BC
пересекаются в точке M
. Поскольку прямые l
и BC
параллельны,
\angle MPT=\angle APT=\angle MTP,
поэтому MT=MP
. Аналогично, MS=MP
, значит, M
— центр описанной окружности прямоугольного треугольника PST
. Кроме того, так как MP\perp EF
и AO\perp EF
(см. задачу 480), то AO\parallel MP
.
Точка H'
, симметричная H
относительно прямой BC
, лежит на описанной окружности треугольника ABC
(см. задачу 4785), поэтому равнобедренные треугольники HMH'
и AOH'
подобны (так как \angle MHH'=\angle OAH'
— углы при их основаниях HH'
и AH'
). Значит, равны углы при их вершинах M
и O
. Следовательно, точка M
лежит на отрезке OH'
.
Пусть прямая l
пересекает описанную окружность треугольника ABC
в точке X
. Тогда
\angle PXM=\angle CMX=\angle BMH'=\angle BMH=\angle BMP=\angle XPM,
поэтому MX=MP
. Значит, точка X
лежит также на описанной окружности прямоугольного треугольника PST
. При этом расстояние OM
между центрами окружностей равно разности их радиусов: MO=MX-OX
. Следовательно, окружности касаются в точке X
. Что и требовалось доказать.
Автор: Забазнов Г. С.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2023, XIX, заочный тур, 8-9 классы, задача 10