1662. В треугольнике ABC
проведены три высоты AH
, BK
и CL
. Докажите, что
AK\cdot BL\cdot CH=AL\cdot BH\cdot CK=HK\cdot KL\cdot LH.
Указание. Выразите все сомножители указанных произведений через стороны и углы данного треугольника.
Решение. Обозначим углы при вершинах A
, B
, C
треугольника ABC
через \alpha
, \beta
, \gamma
соответственно. Тогда
AK=AB|\cos\alpha|,~BL=BC|\cos\beta|,~CH=AC|\cos\gamma|;
AL=AC|\cos\alpha|,~BH=AB|\cos\beta|,~CK=BC|\cos\gamma|.
Кроме того, из подобия треугольников CKH
и CBA
(см. задачу 19) следует, что
\frac{HK}{AB}=\frac{CH}{AC}=|\cos\gamma|.
Поэтому HK=AB|\cos\gamma|
. Аналогично
KL=BC|\cos\alpha|,~LH=AC|\cos\beta|.
Следовательно, каждое из рассматриваемых произведений равно
AB\cdot BC\cdot AC|\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma|.
(Если треугольник остроугольный, то знаки модуля во всех случаях можно опустить.)
Второй способ. По теореме Чевы (см. задачу 1621)
\frac{AK}{CK}\cdot\frac{CH}{BH}\cdot\frac{BL}{AL}=1,
поэтому
AK\cdot BL\cdot CH=AL\cdot BH\cdot CK.