16624. Биссектрисы углов A
, B
и C
треугольника ABC
пересекают описанную окружность в точках A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
соответственно. Точки A_{2}
, B_{2}
и C_{2}
— середины отрезков AA_{1}
, BB_{1}
, CC_{1}
соответственно. Докажите, что треугольники A_{1}B_{1}C_{1}
и A_{2}B_{2}C_{2}
подобны.
Решение. Высоты треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
, проведённые из вершин A
, B
и C
, лежат на прямых AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
соответственно (см. задачу 33), поэтому точка I
пересечения биссектрис треугольника ABC
является ортоцентром треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
.
Точки A_{2}
, B_{2}
и C_{2}
— проекции центра O
описанной окружности треугольника ABC
на хорды AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
соответственно, поэтому они лежат на окружности с диаметром OI
(см. задачу 1689). Вписанные в эту окружность углы B_{2}A_{2}C_{2}
и B_{2}IC_{2}
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle B_{2}A_{2}C_{2}=\angle B_{2}IC_{2}=90^{\circ}-\angle A_{1}CC_{1}=\angle B_{1}A_{1}C_{1}.
Аналогично,
\angle A_{2}B_{2}C_{2}=\angle A_{1}B_{1}C_{1}.
Следовательно, треугольники A_{1}B_{1}C_{1}
и A_{2}B_{2}C_{2}
подобны. Что и требовалось доказать.
Примечание. Утверждение задачи является частным случаем следующего факта. Если H
— ортоцентр треугольника ABC
, P
— произвольная точка плоскости, а A'
, B'
и C'
— проекции точки P
на AH
, BH
и CH
соответственно, то треугольники ABC
и A'B'C'
подобны.
Автор: Терёшин А. Д.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2023, XIX, финал, первый день, 8 класс, задача 2