16632. Биссектрисы AI
и CI
пересекают описанную окружность треугольника ABC
в точках A_{1}
и C_{1}
соответственно. Описанная окружность треугольника AIC_{1}
пересекает сторону AB
в точке C_{0}
. Аналогично определим A_{0}
. Докажите, что точки A_{0}
, A_{1}
, C_{0}
и C_{1}
лежат на одной прямой.
Решение. Пусть прямая A_{1}C_{1}
пересекает хорду AB
в точке C'
. Тогда, учитывая, что A_{1}
— середина дуги BC
, получим
\angle C_{1}C'A=\frac{\smile AC_{1}+\smile BA_{1}}{2}=\frac{\smile AC_{1}+\smile A_{1}C}{2}=\angle C_{1}IA
(см. задачу 26). Значит, точки A
, I
, C'
и C_{1}
лежат на одной окружности (см. задачу 12), поэтому точка C'
совпадает с C_{0}
. Аналогично, точка A'
совпадает с A_{0}
. Таким образом, прямая A_{1}C_{1}
проходит через точки A_{0}
и C_{0}
. Что и требовалось доказать.
Автор: Швецов Д. В.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2024, XX, заочный тур, 8 класс, задача 1