16650. В прямоугольный треугольник ABC
вписана окружность, касающаяся гипотенузы AB
в точке T
. Квадраты ATMP
и BTNQ
лежат вне треугольника. Докажите, что площади треугольников ABC
и TPQ
равны.
Решение. Пусть BC=a
, AC=b
, p
— полупериметр треугольника ABC
. Тогда AT=p-a
и BT=p-b
(см. задачу 219), а
S_{\triangle ABC}=AT\cdot BT=(p-a)(p-b).
(см. задачу 4862).
Поскольку
\angle PTQ=\angle PTM+\angle QTN=45^{\circ}+45^{\circ}=90^{\circ},
треугольник PTQ
прямоугольный, а так как
PT=(p-a)\sqrt{2}~\mbox{и}~TQ=(p-b)\sqrt{2}
то
S_{\triangle PTQ}=\frac{1}{2}PT\cdot TQ=\frac{1}{2}(p-a)\sqrt{2}\cdot(p-b)\sqrt{2}=(p-a)(p-b)=S_{\triangle ABC}.
Что и требовалось доказать.
Автор: Васильев М. Ю.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2023, XX, финал, второй день, 10 класс, задача 5