16661. В параллелограмме ABCD
с тупым углом при вершине A
точка N
лежит на отрезке AD
, точка M
лежит на отрезке CN
, причём AB=BM=CM
. Точка K
симметрична точке N
относительно прямой MD
. Прямая MK
пересекает отрезок AD
в точке L
. Пусть P
общая точка описанных окружностей треугольников AMD
и CNK
, причём точки A
и P
лежат по одну сторону от прямой MK
. Докажите, что \angle CPM=\angle DPL
.
Решение. Поскольку CM=AB=CD
, треугольник CMD
равнобедренный. Из симметрии \angle DMK=\angle DMN
, поэтому
\angle CDM+\angle DMK=\angle CMD+\angle DMN=180^{\circ}.
Значит, MK\parallel CD
.
Пусть E
— точка, симметричная точке C
относительно прямой MD
. Тогда четырёхугольники DCME
и ABME
— ромбы с равными сторонами, так как
ME\parallel CD\parallel AB~\mbox{и}~ME=MC=CD=AB=BM.
Поскольку MK\parallel CD\parallel ME
, точка E
лежит на прямой KL
, а так как из симметрии \angle NME=\angle KMC
, то точки N
, M
и C
лежат на одной прямой. При этом AE=DE
и MN\parallel DE
. Значит,
\angle DKE=\angle DKM=\angle DNM=\angle NDE=\angle NAE=\angle BAE.
Следовательно, четырёхугольник AEDK
вписан в окружность. Обозначим её \omega_{1}
.
Пусть \omega_{2}
и \omega_{3}
— описанные окружности треугольников AMD
и CNK
соответственно. Поскольку AE=DE=ME
, точка E
— центр окружности \omega_{2}
. Из симметрии относительно прямой MD
следует, что четырёхугольник CKNE
— равнобедренная трапеция, поэтому точка E
лежит на окружности \omega_{3}
.
Пусть окружности \omega_{2}
и \omega_{3}
вторично пересекаются в точке Q
. Тогда точка L
пересечения прямых AD
и KE
— радикальный центр окружностей \omega_{1}
, \omega_{2}
и \omega_{3}
. Значит, L
лежит на прямой PQ
(см. задачи 6392 и 6393).
Пусть луч EC
пересекает окружность \omega_{2}
в точке I
. Поскольку диагональ EC
ромба DCME
является биссектрисой его угла DEM
, точка I
— середина меньшей дуги MD
окружности \omega_{2}
. Значит, точка I
лежит на биссектрисе угла DPM
. При этом точка I
лежит также на биссектрисе угла CPQ
, так как
\angle QPI=\frac{1}{2}\angle QEI=\frac{1}{2}\angle QEC=\frac{1}{2}\angle QPC.
Таким образом, прямые PM
и PD
симметричны относительно биссектрисы угла QPC
. Следовательно, \angle CPM=\angle DPL
. Что и требовалось доказать.
Примечание. 1. Точки M
и D
изогонально сопряжены относительно треугольника CPQ
, а I
— центр вписанной окружности этого треугольника.
2. Точка M
— центр вписанной окружности треугольника AKD
.
Источник: Международная Жаутыковская олимпиада (Казахстан). — 2022, XVIII, первый день, задача 3