16664. В неравнобедренном треугольнике ABC
точка I
— центр вписанной окружности, а CN
— биссектриса. Прямая CN
вторично пересекает описанную окружность треугольника ABC
в точке M
. Прямая l
параллельна прямой AB
и касается вписанной окружности треугольника ABC
. Точка M
на прямой l
такова, что CI\perp IR
. Описанная окружность треугольника MNR
вторично пересекает прямую IR
в точке S
. Докажите что AS=BS
.
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке.
Пусть прямая l
касается вписанной окружности треугольника ABC
в точке D
. Через точку N
проведём прямую, отличную от прямой AB
, касающуюся вписанной окружности треугольника ABC
и пересекающую в точке R'
прямую l
. Поскольку CI\perp IR
, а вписанная окружность треугольника ABC
вписана в угол DR'N
, то точка R'
совпадает с R
.
Пусть прямые MS
и l
пересекаются в точке T
. Тогда
\angle IMT=\angle IMS=\angle NMS=\angle NRS=\angle IRT,
т. е. из точек M
и R
, лежащих по одну сторону от прямой IT
, отрезок IT
виден под одним и тем же углом. Значит (см. задачу 12), точки R
, T
, I
и M
лежат на одной окружности, а так как \angle MIR=90^{\circ}
, то MR
— диаметр этой окружности. Тогда \angle MRT=90^{\circ}
.
Середина M
дуги меньшей дуги AB
описанной окружности треугольника ABC
равноудалена от концов хорды AB
, значит, прямая MT
— серединный перпендикуляр к этой хорде. Следовательно, лежащая на MT
точка S
равноудалена от точек A
и B
. Что и требовалось доказать.
Аналогично для любого другого случая.
Заметим, что разбора случаев можно избежать, если рассматривать ориентированные углы (см. задачу 873).
Источник: Международная Жаутыковская олимпиада (Казахстан). — 2020, XVI, второй тур, задача 4