16670. Диагонали четырёхугольника ABCD
, вписанного в окружность с центром O
, пересекаются в точке M
. Описанная окружность треугольника ABM
пересекает стороны AD
и BC
в точках N
и K
соответственно. Докажите, что четырёхугольники NOMD
и KOMC
имеют равные площади.
Решение. Пусть \omega_{1}
— описанная окружность четырёхугольника ABC
, а \omega_{2}
— описанная окружность треугольника ABM
. Вписанные углы CAD
и DBC
опираются на одну и ту же дугу, поэтому они равны. Значит, хорды MN
и MK
, на которые эти углы опираются в окружности \omega_{2}
, тоже равны. Отрезки OD
и OC
равны как радиусы окружности \omega_{1}
.
Пусть t
— касательная к окружности \omega_{1}
в точке D
, а L
— точка на t
, лежащая с точкой B
по разные стороны от прямой AD
. Из вписанности четырёхугольника ABKN
и теоремы об угле между касательной и хордой (см. задачу 87) следует, что
\angle ABD=\angle ABM=180^{\circ}-\angle ANM=\angle DNM=\angle LDN.
Тогда MN\parallel t
, а значит, MN\perp OD
. Аналогично, MK\perp OC
.
Следовательно, четырёхугольники NOMD
и KOMC
с перпендикулярными диагоналями равновелики, так как равны их соответствующие диагонали (см. задачу 3018). Что и требовалось доказать.
Источник: Международная Жаутыковская олимпиада (Казахстан). — 2016, XII, первый день, задача 1