16671. Противоположные стороны выпуклого шестиугольника ABCDEF
попарно параллельны. Точки M
, N
и K
— точки пересечения прямых BD
и AE
, AC
и DF
, CE
и BF
соответственно. Докажите, что прямые, проведённые через точки M
, N
и K
перпендикулярно прямым соответственно AB
, CD
и EF
, пересекаются в одной точке.
Решение. Лемма. Пусть T
— точка пересечения продолжений боковых сторон PR
и QS
трапеции PQRS
. Тогда радикальная ось окружностей с диаметрами PR
и QS
есть прямая, содержащая высоту треугольника TPQ
, проведённую из вершины T
.
Доказательство. Пусть \omega
, \omega_{1}
и \omega_{2}
— окружности с диаметрами PQ
, PR
и QS
соответственно. Окружности \omega
и \omega_{1}
проходят точку P
и через основание P_{1}
высоты треугольника TQP
, проведённой из вершины S
, поэтому радикальная ось окружностей \omega
и \omega_{1}
— прямая PP_{1}
(см. задачу 6392). Аналогично, радикальная ось окружностей \omega
и \omega_{2}
— прямая, содержащая высоту TPQ
, проведённую из вершины Q
. Обе эти радикальные оси пересекаются в ортоцентре H
треугольника TPQ
. Значит, радикальный центр окружностей \omega
, \omega_{1}
и \omega_{2}
(см. задачу 6393) совпадает с ортоцентром H
. Следовательно, радикальная ось окружностей \omega_{1}
и \omega_{2}
содержит третью высоту треугольника TPQ
. Лемма доказана.
Перейдём к нашей задаче. Применив лемму к трапеции ABDE
, получим, что прямая, содержащая высоту треугольника AMB
, проведённую из вершины M
, есть радикальная ось окружностей с диаметрами AD
и BE
. Аналогично, рассматривая трапеции CDFA
и EFBC
получим, что прямая, содержащая высоту треугольника CND
, проведённую из вершины N
, есть радикальная ось окружностей с диаметрами AD
и CF
, а прямая, содержащая высоту треугольника EKF
, проведённую из вершины K
, есть радикальная ось окружностей с диаметрами BE
и CF
. Эти три радикальные оси, а значит, и соответствующие прямые (среди которых, очевидно, нет параллельных) пересекаются в радикальном центре трёх рассмотренных окружностей. Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Международная Жаутыковская олимпиада (Казахстан). — 2016, XII, второй день, задача 5