16676. Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD
пересекаются в точке K
. Точки M
и N
— середины диагоналей AC
и BD
соответственно. Описанные окружности треугольников ADM
и BCM
пересекаются в точках M
и L
. Докажите, что точки K
, L
, M
и N
лежат на одной окружности.
Решение. Обозначим описанную окружность четырёхугольника ABCD
через \omega
, а описанные окружности треугольников ADM
и BCM
— через \omega_{1}
и \omega_{2}
соответственно. Из условия задачи следует, что прямые BC
и AD
не параллельны (иначе окружности \omega_{1}
и \omega_{2}
касаются).
Прямые BC
, ML
и AD
— радикальные оси пар окружностей \omega
и \omega_{1}
, \omega_{1}
и \omega_{2}
, \omega
и \omega_{2}
соответственно (см. задачу 6392). Следовательно, эти прямые пересекаются в одной точке — радикальном центре O
окружностей \omega
, \omega_{1}
, \omega_{2}
(см. задачу 6393).
Пусть описанная окружность треугольника KLM
пересекает прямую BD
в точках K
и N_{1}
. Тогда
\angle BLN_{1}=\angle BLM+\angle MLN_{1}=\angle BCM+\angle MKB=\angle OBD=
=180^{\circ}-\angle CBD=180^{\circ}-\angle CAD=\angle OAC,
\angle LDN_{1}=\angle MLD-\angle MLN_{1}=(180^{\circ}-\angle MAD)-\angle MLN_{1}=
=(180^{\circ}-\angle CAD)-\angle MLN_{1}=\angle OAC-\angle AKD=\angle OAK-\angle AKD=\angle ODB.
Применив теорему синусов, вычислим отношение \frac{BN_{1}}{N_{1}D}
. Имеем
\frac{BN_{1}}{N_{1}D}=\frac{S_{\triangle BLN_{1}}}{S_{\triangle DLN_{1}}}=\frac{\frac{1}{2}BL\cdot LN_{1}\sin\angle BLN_{1}}{\frac{1}{2}DL\cdot LN_{1}\sin\angle DLN_{1}}=\frac{BL\sin\angle BLN_{1}}{DL\sin\angle DLN_{1}}=
=\frac{BL\sin\angle OAC}{DL\sin\angle ODB}=\frac{BL\sin\angle OAC}{DL\sin\angle OCA}=\frac{BL}{DL}\cdot\frac{OC}{OA}.\eqno(1)
Поскольку
\angle OCM=\angle BCM=\angle BLM=\angle BLO~\mbox{и}~\angle OMA=\angle ADL=\angle ODL,
треугольник OCM
подобен треугольнику OLB
по двум углам, а треугольник OMA
— треугольнику ODL
. Значит,
\frac{OC}{OL}=\frac{CM}{BL}~\mbox{и}~\frac{OA}{OL}=\frac{MA}{LD}\eqno(2),
поэтому из (1) и (2) получаем
\frac{BN_{1}}{N_{1}D}=\frac{BL}{DL}\cdot\frac{OC}{OA}=\frac{CM\cdot OL}{OL\cdot MA}=1.
Следовательно, точки N_{1}
и N
совпадают. Отсюда вытекает утверждение задачи.
Источник: Международная Жаутыковская олимпиада (Казахстан). — 2011, VII, второй день, задача 6