16680. Окружность, вписанная в треугольник, последовательно делит одну из его медиан на отрезки, равные 2\sqrt{3}
, 4\sqrt{3}
и 2\sqrt{3}
соответственно. Найдите большую сторону треугольника.
Ответ. 22.
Решение. Пусть ABC
— данный треугольник, его медиана CM
делится вписанной окружностью на отрезки CK=2\sqrt{3}
, KL=4\sqrt{3}
и LM=2\sqrt{3}
. Обозначим BC=a
, AC=b
, AB=c
, p
— полупериметр треугольника. Тогда (см. задачу 219)
CQ=CP=p-c=\frac{a+b-c}{2},~MR=AM-AR=\frac{c}{2}-(p-a)=\frac{a-b}{2}.
По теореме о касательной и секущей (см. задачу 93)
CQ^{2}=CP^{2}=CK\cdot CL=2\sqrt{3}(2\sqrt{3}+4\sqrt{3})=36~\Rightarrow~CQ=CP=6,
MR^{2}=ML\cdot MK=2\sqrt{3}(2\sqrt{3}+4\sqrt{3})=36~\Rightarrow~MR=6.
Таким образом,
\frac{a+b-c}{2}=6~\mbox{и}~\frac{a-b}{2}=6~\Rightarrow~b=a-12~\mbox{и}~c=2b=a-12.
По формуле для медианы треугольника
4CM^{2}=2a^{2}+2b{2}-c^{2},~\mbox{или}~4\cdot(8\sqrt{3})^{2}=2a^{2}+2(a-12)^{2}-4(a-12)^{2},
откуда находим, что a=22
. Тогда
b=a-12=10,~c=2b=20.
Следовательно, наибольшей стороной оказывается BC=a=22
.
Источник: Олимпиада Санкт-Петербургского политехнического университета Петра Великого. — 2024, заключительный тур, задача 4
Источник: Журнал «Квант». — 2024, № 5-6, с. 43, задача 6; № 7, с. 62