16687. Несложно доказать, что в прямоугольном треугольнике сумма радиусов вписанной и трёх вневписанных окружностей равна периметру (см. задачу 11233). Докажите, что верно и обратное утверждение.
Решение. Используем стандартные обозначения для элементов треугольника: a
, b
и c
— длины катетов и гипотенузы, p
— полупериметр, \alpha
, \beta
и \gamma
— углы, противолежащие сторонам a
, b
и c
соответственно, R
— радиус описанной окружности, r
, r_{a}
, r_{b}
и r_{c}
— соответственно радиусы вписанной и вневписанных окружностей, I
, I_{a}
, I_{b}
и I_{c}
— их центры.
В любом треугольнике
r_{a}+r_{b}=c\ctg\frac{\gamma}{2}
(см. задачи 11381а).
Также верно равенство
r+r_{c}=(a+b)\tg\frac{\gamma}{2}
(см. задачу 11381).
Итак, в любом треугольнике
r+r_{a}+r_{b}+r_{c}=(a+b)\tg\frac{\gamma}{2}+c\ctg\frac{\gamma}{4}.
Нам дано, что
r+r_{a}+r_{b}+r_{c}=a+b+c,
значит,
a+b+c=(a+b)\tg\frac{\gamma}{2}+c\ctg\frac{\gamma}{4}~\Rightarrow~(a+b)\left(1-\tg\frac{\gamma}{2}\right)=c\left(\ctg\frac{\gamma}{2}-1\right).
Если \tg\frac{\gamma}{2}=1
, то
\frac{\gamma}{2}=45^{\circ}~\Rightarrow~\gamma=90^{\circ}.
Иначе,
a+b=c\ctg\frac{\gamma}{2},~\mbox{или}~\frac{a+b}{c}=\frac{\cos\frac{\gamma}{2}}{\sin\frac{\gamma}{2}}.\eqno(1)
Используя теорему синусов, получим
\frac{a+b}{c}=\frac{\sin\alpha+\sin\beta}{\sin\gamma}=\frac{2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}}{2\sin\frac{\gamma}{2}\cos\frac{\gamma}{2}}=\frac{2\sin\left(90^{\circ}-\frac{\gamma}{2}\right)\cos\frac{\alpha-\beta}{2}}{2\sin\frac{\gamma}{2}\cos\frac{\gamma}{2}}=\frac{\cos\frac{\alpha-\beta}{2}}{\sin\frac{\gamma}{2}}.
Таким образом, из (1) следует равенство \cos\frac{\alpha-\beta}{2}=\cos\frac{\gamma}{2}
, а так как оба аргумента из интервала (-90^{\circ};90^{\circ})
, то
\pm\frac{\alpha-\beta}{2}=90^{\circ}-\frac{\alpha+\beta}{2}.
Следовательно, \alpha=90^{\circ}
или \beta=90^{\circ}
. Утверждение задачи доказано.
Примечание. 1. Возможны и другие подходы к задаче, например, с использованием известного равенства
r_{a}+r_{b}+r_{c}=r+4R
(см. задачу 3240).
2. Отметим несколько соотношений в прямоугольном треугольнике с гипотенузой c
. Поскольку
r=p-c,~r_{c}=p,~r_{a}=p-b,~r_{b}=p-a,
то, в частности,
r+r_{a}+r_{b}=r_{c}~\Rightarrow~r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}=2c^{2}.
Домножив последнее равенство на \pi
и учитывая, что c=2R
, этому равенству можно придать следующий геометрический смысл: сумма площадей вписанного круга и вневписанных кругов прямоугольного треугольника равна восьми площадям описанного круга.
Автор: Вайнштейн И. А.
Источник: Журнал «Квант». — 2023, № 10, M2767, с. 17; 2024, № 1, M2767, с. 16
Источник: Задачник «Кванта». — 2023, M2767